Một bài bất đẳng thức
 

Các pác Cm giùm em bài này với cách sử dụng Bất Đẳng Thức AM-GM Cho 2 Số Nhé
Cho $x,y,z > 0 $ và $xyz=1 $ Cm:
$(1+\frac{x}{y})(1+\frac{y}{z})(1+\frac{z}{x})\geq (1+x)(1+y)(1+z) $

Nhân khai triển và rút gọn thì bdt tương đương với:
$\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}\ge xy+yz+zx $
Sử dụng AM-GM như sau:
$\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{y}\ge 3\sqrt[3]{\frac{zx}{y^2}}=3zx $
Làm mấy cái tương tự rồi cộng vào thu được đpcm!

Theo em thì khai triển ra thì cần cm $\sum_{sym} \frac{x}{y} \ge xy + yz + zx + x + y + z $ chứ ạ.

ừ,nhầm 1 chút,nhưng k sao
cm thêm $\sum\frac{x}{y}\ge \sum x $
có: $\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge 3x. $
ok!!!

đặt $x;y;z $ bằng $a^3;b^3;c^3 $
bđt trở thành
$({a^3} + {b^3})({b^3} + {c^3})({c^3} + {a^3}) \ge ({a^2} + bc)({b^2} + ac)({c^2} + ab) $,dễ thấy $VP \ge 8 $
thoe bđt Holder:
$({a^3} + {b^3})({c^3} + {b^3})({1^3} + {1^3}) \ge {(ac + {b^2})^3} $
làm 2 bđt tương tự rồi nhân lại ta đc
$8{\left( {VT} \right)^2} \ge {\left( {VP} \right)^3} \ge 8{(VP)^2} $
suy ra đpcm

quên mất còn giả thiết Bất Đẳng Thức AM-GM Cho 2 Số Nhé nữa ^^!
$(x + y)(x + z) = ({x^2} + yz) + x(y + z) \ge 2\sqrt {x({x^2} + yz)(y + z)} $
$= 2\sqrt {({x^3} + 1)(y + z)} = 2\sqrt {(x + 1)(\frac{{{{(x + 1)}^2}}}{4} + \frac{{3{{(x - 1)}^2}}}{4})(y + z)} $
$\ge \sqrt {{{(x + 1)}^3}(y + z)} $
làm 2 bđt tương tự rồi nhân lại và rút gọn ta đc đpcm =p~

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
cũng có bạn trả lời ở đây rồi
+_+

$(1+\frac{x}{y})(1+xy)\ge \ (1+x)^2 $
<=>$(1+\frac{x}{y}).(\frac{1+z}{z})\ge \ (1+x)^2 $
Nhân lại vs nhau => đpcm