Câu cực trị trong đề thi hsg Tỉnh Nghệ An
 

Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0, thoả mãn: $(a+b+c)^2 = 2(a^2 +b^2 +c^2) $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biêủ thức: $P=\frac{a^3 +b^3 +c^3}{(a+b+c)(ab +bc +ca)} $

ta có các hằng đẳng thức
$\left ( a+b+c \right )^{3}= \sum a^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a) $
và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac) $
$\rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{3}}{3} $
vậy suy ra


$p\geq \frac{3(\sum a^{3})}{(a+b+c)^{3}}= \frac{3[(a+b+c)^{3}-3(a+b)(b+c)(c+a)]}{(a+b+c)^{3}}\geq \frac{3[(a+b+c)^{3}-\frac{3.8}{27}(a+b+c)^{3}]}{(a+b+c)^{3}}=\frac{(a+b+c)^{3}(3-\frac{3.3.8}{27})}{(a+b+c)^{3}}=\frac{1}{3} $
vậy min=1/3

Cách làm này không đúng vì không đảm bảo dấu bằng của bất đẳng thức.

Đây là một dạng quen thuộc, có thể đưa về bài toán sau.

Ta lại có

$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc $

nên chỉ cần tìm min và max của abc

Ta có :

$(abc)^2 \le a^2\bigg(\frac{b+c}{2}\bigg)^4=a^2\bigg(\frac{2-a}{2}\bigg)^4 $

sau đó khảo sát hàm này để tìm min đúng không anh
X_X

Cách làm tương tự

Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: ${{(x+y+z)}^{3}}=32\text{xyz} $. Tìm GTLN, GTNN của $P=\frac{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}}{{{(x+y+z)}^ {4}}} $

Ý tưởng chắc xuất phát từ đây: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Đặt : $a+b=x $
Ta có : $P=1+\frac{3abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=1+\frac{3c(x-c)^2}{(x+c)^3} $

+) Với $c=0 \Rightarrow P=1 $
+) Với $c \not= 0 $
từ giả thiết suy ra : $(x-c)^2=4ab\leq (a+b)^2=x^2 \Rightarrow \frac{x}{c} \ge \frac{1}{2} $
Đặt $t=\frac{x}{c} $
Khảo sát hàm $f(t)=1+\frac{3(t-1)^2}{(t+1)^3} , \forall t \ge \frac{1}{2} $
cho ta $Min = 1; Max = \frac{11}{9} $

Buồn từng Centimet :-<