Chứng minh thẳng hàng
 

Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt BC tại A'. Tương tự ta có các điểm B', C' . CMR : A',B',C' thằng hàng.

Đường thẳng đi qua $A',B',C' $ được gọi là trục Lemoine:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Cách chứng minh thứ 2:
Gọi $S $ là giao điểm của $BB' $ và $CC' $
$\Rightarrow BC $ là đường đối cực của $S $ đối với $(ABC) $
$\Rightarrow $ đường đối cực của $A' $ đi qua $S $
Mà $AA' $ là tiếp tuyến của $(ABC) $
$\Rightarrow $ đường đối cực của $A' $ đi qua $A $
$\Rightarrow $ đường đối cực của $A' $ là $AS $
Theo một kết quả quen thuộc, ta có $AS $ là đường đối trung của $\Delta ABC $
Do đó 3 đường đối cực của $A',B',C' $ là 3 đường đối trung trong tam giác $ABC $
$\Rightarrow A',B',C' $ thẳng hàng và đường thẳng đi qua chúng là đường đối cực của điểm Lemoine đối với $(ABC) $

Ta có $\frac{A'A}{A'B}=\frac{A'C}{A'A}=\frac{AB}{AC} $
=>$\frac{A'C}{A'B}= \frac{A'A}{A'B}. \frac{A'C}{A'A} = \frac{AB^{2}}{AC^{2}} $
Tương tự ta tính $\frac{B'A}{B'C} $ và $ \frac{C'B}{C'A} $ nhận thấy tích 3 tỉ số này =1 theo Menelaus => A' B' C' thẳng hàng