Phương trình $(1+x)^y=1+x!$
 

Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn\[1+x! =(1+x)^y.\]

Cái này có bóng dáng Wilson :D

$1 + x! = {\left( {1 + x} \right)^y}{\rm{ }}\left( * \right)$
Với $x = 1$ ta có ${2^y} = 2 \Leftrightarrow y = 1$ $ \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)$
Tương tự với các trường hợp $x = 2$, $x = 3$ và $x = 4$ ta tìm được $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right);\left( {4;5} \right)$
Bây giờ ta đi chứng minh $\forall x > 4$, $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên dương.
TH1: $x=2k+1$,$k \in Z$: Dễ thấy $2$ là ước của $VP$, còn $VT$ không chia hết cho $2$ nên $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên.
TH2: $x=2k$,$k \in Z$, mà $x>4$ nên $x$ không là số nguyên tố, để có $x|\left( {x - 1} \right)!$
Có: \[\begin{array}{l}
x! = {\left( {x + 1} \right)^y} - 1 = C_y^1x + C_y^2{x^2} + ... + C_y^y{x^y}\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)! = x\left( {C_y^2 + C_y^3x + ... + C_y^y{x^{y - 2}}} \right) + y
\end{array}\]
mà $x|\left( {x - 1} \right)!$ nên $x|y \Rightarrow y \ge x$
Do đó: ${\left( {x + 1} \right)^y} \ge {\left( {x + 1} \right)^x} > x! + 1$ (vì $x>4$)
Nên $\left( * \right)$ vô nghiệm
Vậy $\forall x > 4$, $\left( * \right)$ không có nghiệm nguyên dương.
Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {2;1} \right);\left( {4;5} \right)$