Phương trình hàm.
 

Xác đinh các hàm $f(x) $ sao cho $f(x+1)=f(x)+2 $ với mọi $x \in R $

đặt f(x)=g(x)+2x thì g(x+1)=g(x)=>g(x) là hàm tuần hoàn chu kì 1
vậy f(x)=g(x)+2x trong đó g(x) là hàm tuần hoàn chu kì 1 bất kì

Làm thế nào mà bạn biết đặt như thế này vậy

Bài này có thể tổng quát thành: Xác đinh các hàm $f(x) $ sao cho $f(x+a)=f(x)+b $ ($a \neq 0 $) với mọi $x \in R $.
KQ là $f(x) = g(x) + \frac{bx}{a} $ với g(x) là hàm tuần hoàn bất kì chu kì a.

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa mãn các điều kiện sau :

http://latex.codecogs.com/gif.latex?...0\not=0\end{m}

Tìm tất cả các hàm số $f(x) $ liên tục trên $\mathbb{R} $ thỏa mãn điều kiện :

$2f(2x)=f(x)+x , \forall x\in \mathbb{R}. $

mấy dạng kiểu này giống dãy.mình có thể đặt sang dãy U(n) sau đó dùng sai phân để giai mà

Liệu có thể tổng quát lên bài toán sau không:
Tìm tất cả các hàm f:R-->R:
$f(ax+b)=cf(x)+d \forall x\in R $ với a,b,c,d là các hằng số thực.

Đây là hướng giải theo những kiến thức tao biết:
Không sử dụng hàm tuần hoàn cũng có thể ra KQ là có vô số hàm thoả đề.
Dù chưa chứng minh đc nhưng có thể đoán những hàm $f(x) $ thoả đề phần lớn là những hàm đa thức.
Khi đó, ta có thể cm $a = c $ với mọi bậc của $f(x) $.
Và với mỗi bậc của $f(x) $, ta đều tìm đc vô số hàm thoả dề.
Ví dụ với $\deg{f(x)} = 1 $, đặt $f(x) = sx + p $. Thay vào tính toán, ta cm đc chỉ cần chọn $s , p $ thoả $p(c-1) = sb - d \ (*) $ là có đc một hàm thoả đề. Vậy là có vô số hàm bậc nhất thoả đề (do (*) là đường thẳng).

Với hướng cm như trên thì ngay cả khi $a \neq c $ ($f(x) $ ko là hàm đa thức) cũng có vô số $f(x) $ thoả (cho $f(x) = \frac{1}{P(x)} $ với $P(x) $ là hàm đa thức vô nghiệm rồi cm).

Ai làm giúp em bài này với:-x:-x: tìm hàm $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ thỏa mãn:
$f(x) = f(x^*+x+1) $ với $* = 2 $
Cái này có thể tổng quát thành bài toán với $*=1,2,3,4,\ldots,n $ được không ạh?:-x:-x

Sao làm thế được, đây là giải PTH chứ đâu phải là đa thức B-)