Look at the end point
 

Xin mở đầu phương phap' này là 2 định lý sau:
Định lý 1 Nếu $f(x) $ là hàm bậc nhất theo $x $ thì : nếu $f(a) \geq 0 $ , $f(b) $ $\geq $0 khi đó $f(x) \geq 0 $ với mọi $x\in[a,b] $

Định lý 2 : Nếu f(x) là hàm bậc nhất theo x thì : $\min\{f(a);f(b)\} $$ \leq $$f(x) $$\leq $$max \{f(a);f(b)\} $ với mọi $x $$\in $$[a,b] $

Các tính chất hàm bậc nhất trên đây có hình minh họa hình học rất dễ hiểu ( mình ko biết vẽ hình minh hoa các bạn thông cảm ) Vận dụng các tính chất này ta có thể Cm được nhiều BDT hay và khó.

Ví dụ 1 [TEX]Cho $x,y,z,\in [0,2] $ ,CMR: $2(x+y+z)(xy+yz+xz) \leq 4 $(*)

Lời Giải:BDT(*)$\Leftrightarrow(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4\leq 0 $
Xét $f(x) =(2-y-z)x+2(y+z)-yz-4 $ với $x \in[0,2] $
Ta có $f(0)=-(2-y)(2-z)\leq 0 f(2)=-yz \leq 0 $
=> $f(x) \leq 0 $ với $x\in[0,2] $ (dpcm)
Ví dụ 2 Cho $a,b,c,d\in $ CM BDT:
$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+ab+c+d\leq 1 $
Lời giải $C_1 $Cố định $b,c,d $ xét hàm bậc nhất
$f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d-1 $
$ f(1)=b+c+d\geq 0 $
$f(0)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $
Cố định $c,d $ xét :
$f(b)=(1-b)(1-c)(1-d)+b+c+d-1 $
$f(1)=c+d \geq 0 $
$f(0)=(1-c)(1-d)+c+d-1=cd \geq $ 0
$\Rightarrow f(b) \geq 0 $ với mọi $b\in [0;1] $
$C_2 $: đặt S$=f(a)=(1-a)(1-b)(1-c)(1_d)+a+b+c+d-1 $
$\Rightarrow $ S min tại $a=0 $ hoặc $a=1 $ Vậy để S đặt giá trị nhỏ nhất thì $a\in\{0;1\} $ tương tự $b\in\{0;1\} $ , $c\in\{0;1\} $, $d\in\{0;1\} $
Nếu có 1 số bằng 1 thì $S\geq 0 $
Nếu cả 4 số bằng 0 thì $S=0 $
Ví dụ 3 : Cho 3 số dương$ x,y,z $ thỏa mãn $x+y+z=1 $
CMBDT: $xy+yz+xz-2xyz $$\leq27 $
Lời Giải $xy+yz+xz-2xyz =x(y+z)+yz-2xyz $
Cố định x xét $f(yz)=x(1-x)+yz-2xyz-\frac{7}{27} $
Ta có yz $\leq $$\frac{(y+z)^2}{4}=\frac {(1-x)^2}{4} $
=>$ yz \in [0;\frac {(1-x)^2}{4}] $
$f(0)=x(1-x)-7/27 <- $$(x^2-x+1/4) $ $<0 $ $\Rightarrow f(0)<0 $
$f(\frac{(1-x)^2}{4})=x(1-x)+\frac{(1-x)^2}{4}-2\frac {(1-x)^2}{4}-7/27
=\frac{-1}{2}(x-1/3)^2(x+1/6) \leq 0 $
vậy $f(\frac{(1-x)^2}{4}) \leq 0\Rightarrow $ dpcm
Hoàn toàn tương tự , ta có thể giải quyết bài toán sau :
Ví dụ 4 Cho 3 số ko âm $a,b,c $ thỏa mãn $a+b+c=1 $CMBDT: $a^3+b^3+c^3+6abc \geq \frac {1}{4} $
MAI POST TIẾP

Cái này là giáo án chuyên đề của dhsphn,còn Mr Nguyễn là caothucodon,bài post này được trích trực tiếp từ diendan3t.net

Nếu thế thì post tiếp đi, anh đang thấy hay. :D
Có thể tham khảo thêm cuốn ''Nguyên tắc biên'' của N.H.Đ.

Ví dụ 1 hình như đ/k của x,y,z bị nhầm! Vì cho x=y=z=2 thì sai rùi!:ops:.nếu sửa đề bài 1 lại thì mình nghĩ có 1 cách dùng LG để giải đấy!

Ai có file up lên nhé
Cảm ơn

file thì có ben 3t hoặc toanthpt ấy.Sang đấy đọc cũng dược

Cái Định Lý 2 có thể thay f bởi hàm lồi trên [a,b]. Dùng nó ta có thể giải được bài toán sau : Cho 0<p<q là các số thực cố định và $x_1,\cdots,x_n $ là n số thực thay đổi nhưng nằm trong đoạn [p,q]. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức $\left(x_1+\cdots+x_n\right)\left(\frac{1}{x_1}+... +\frac{1}{x_n}\right) $

và $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_3}+\cdots+\frac{x_n}{ x_1} $.

Tham khảo thêm trong mathematical olympiad challenges của Titu.

File đây mọi người:

Hình như đây là một phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất của Phạm Văn Thuận trên báo TTT2. Có rất nhiều bài tập áp dụng đấy!

Có cái định lí 3 và 4 bị lỗi òy kìa bạn! Mất 1 số chữ đó ! Sao ko ai để ý hết vậy ta :D

Đúng đó bạn ,nhưng tài liệu trên đầy đủ ý tưởng hơn(sử dụng tính chất hàm lồi -> vượt thcs).Trong cuốn "Bất đẳng thức, suy luận & khám phá "của Phạm Văn Thuận ,Lê Vĩ và cuốn "Giải toán bằng phương pháp đại lượng cực biên"của thầy Nguyễn Hữu Điển hay "Sáng tạo bất đẳng thức" của Phạm Kim Hùng cũng có nói.:hornytoro::hornytoro:

Cái file này đã hỏng không tải về được ,mình up lại dưới đây: