Một số bài toán về định thức của ma trận
 

Bài 1: Cho $A,B$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa $A^{2001}=0$ và $A+B=AB$. Chứng minh rằng $\det B=0$.

Bài 2: Cho $A,B$ là ma trận vuông cấp $n$ là nghiệm của $f(x)=x^2 - x$ và $AB+BA=0$. Tính $\det(A-B)$.

Theo tôi thì giải như thế này:
1.Do $A^{2001}=0 $ nên $\det A=0 $
từ giả thiết:
$A+B=AB \Rightarrow B=A.(B-I) \Rightarrow \det B=\det A.\det (B-I)=0 $ (đpcm)
2.Do A,B là nghiệm của phương trình: $x^2 - x=0 $ nên ta có:
$A^2-A=0,B^2-B=0 $. Từ $AB=-BA $ nên:
$(A-I)AB=-(A-I)BA=(A^2-A)B=0 $
suy ra:
$-(A-I)BA=0 \Rightarrow (A-I)BA=0=B(A-I)A \Rightarrow (AB-BA).A=0 \\\Rightarrow (AB)A=0 \Rightarrow (-BA)A=0 \Rightarrow -B(AA)=0 \Rightarrow BA=0 $
do đó: $AB=0 $
Ta lại có:
$A^2-B^2=A-B\Rightarrow (A-B)(A+B)=(A-B) \Rightarrow (A-B)^2.(A+B)^2=(A-B)^2 $.
mà $(A+B)^2=A^2+B^2=(A-B)^2 $ (do $AB=0 $)
do đó:$(A-B)^4=(A-B)^2 $
Vậy $\det (A-B)=0 $ hoặc $\det (A-B)=1 $.

Bài 1: Cho $A,B$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa $A^{2001}=0$ và $A+B=AB$. Chứng minh rằng $\det B=0$.
Giải:
$A^2001 = 0$ nên $\det A = 0$.
Từ $A+B=AB$ suy ra $B(A-I)=A$.
Do đó $\det[B(A-I)]= \det B\det(A-I)=\det A=0$.
Suy ra $\det B=0$. (do $\det(A-I) \ne 0$)