Đề thi đội tuyển trường THPT số 1 Bình Định
 

Ngày 1:
Bài 1: Cho 3 số thực a, b, c đôi 1 phân biệt. Chứng minh BDT sau:
$\frac{a^{3}-b^{3}}{(a-b)^{3}}+\frac{b^{3}-c^{3}}{(b-c)^{3}}+\frac{c^{3}-a^{3}}{(c-a)^{3}}\geq \frac{9}{4}$
Bài 2: Cho dãy $(a_{n})$ thỏa:
i) $a_{1}=\sqrt{2}$
ii)$a_{n+1}=a_{n}+\sqrt[n+2]{\frac{n+2}{n+1}}$
Xác định giới hạn của dãy $(\frac{a_{n}}{n})$
Bài 3: Cho đường tròn (O) có B, C là 2 điểm cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. M là trung điểm BC. E, F là chân đường cao hạ từ B và C của tam giác ABC. Trên BE, CF lần lượt lấy điểm P, Q sao cho CP song song ME, BQ song song MF. EF cắt BQ, CF tại I, J.
a) Chứng minh trung trực IJ đi qua điểm cố định.
b) Trên tia IB, JC lấy điểm U, V sao cho IU=JV=BC. Gọi T là giao điểm IB và JC. Chứng minh đường tròn (TUV) tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
Bài 4: Cho 2015 hộp có bề ngoài như nhau, mỗi hộp chứa 2015 quả cân. Biết trong 2014 hộp, mỗi hộp đều chứa 2015 quả cân mỗi quả nặng đúng 1kg, hộp còn lại kém chất lượng chứa 2015 quả cân mỗi quả nặng đúng 0,9 kg. Để xác định hộp kém chất lượng người ta dùng 1 cái cân điện tử có thể cho biết chính xác khối lượng vật được cân và ta có thể lấy các quả cân ra để cân chúng. Số lần cân tối thiểu là bao nhiêu để xác định hộp kém chất lượng đó đó ?

Lời giải bài toán 1: Nhận xét với mọi a,b,c đôi một phân biệt ta luôn có bđt sau :
$\sum (\frac{a+b}{a-b})^{2}\geqslant 2$
thu gọn ta được $P=\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}+\sum \frac{ab}{(a-b)^{2}}$ Theo nhận xét ta có
$\sum (\frac{a+b}{a-b})^{2}-3\geqslant -1.
\sum (\frac{a+b}{a-b})^{2}+3\geqslant 5.$
nên ta có
$\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geqslant \frac{5}{2}$
$\sum \frac{ab}{(a-b)^{2}}\geqslant \frac{-1}{4}$
CỘNG LẠI suy ra đpcm

Bắng quy nạp, ta dễ chứng minh $\frac{a_{n}}{n}>1$
Ta tìm được
$a_{n}=\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}+\sqrt[n]{\frac{n}{n-1}}+...\sqrt{\frac{2}{1}}$
Ta lại có:
$\sqrt[k+1]{\frac{k+1}{k}}=\frac{\sqrt[k+1]{(k+1)k^{k}}}{k}<\frac{k+1+k^{2}}{(k+1)k}=1+\frac{ 1}{k}-\frac{1}{k+1}$.
suy ra $a_{n}< n+1-\frac{1}{n+1}$. nên $\frac{a_{n}}{n}<1+\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)n}$.
Theo đl kẹp suy ra $lim\frac{a_{n}}{n}=1$

Ngày 2
Bài 5:$ m $là 1 số nguyên dương cho trước.
a) Tồn tại hay không các số nguyên dương n, k với $1< n, k< 2^{m}$ sao cho:
$2^{m}+k=2nk+k^{2}$ ?
b) Có bao nhiệu bộ $(a;n;k)$ nguyên dương với $1< a, n, k< 4^{m} $ sao cho: $a.2^{m}+k=2nk+k^{2}$ ?
Bài 6:
Cho tam giác $ABC$ có M là trung điểm $BC. d$ đường thẳng thay đổi và luôn đi qua $M. d$ cắt$AB, AC$ tại $E, F$. Từ$ E, F$ vẽ $d1, d2$ vuông góc $AB, AC. d1, d2$ cắt trung trực $BC$ tại$ P, Q.$
a) Chứng minh giao điểm của $BP$ và $CQ$ nằm trên 1 đường cố định.
b) Gọi N là giao điểm của $d1$ và$ d2$. Chứng minh trung điểm đoạn nối trực tâm của 2 tam giác $ABC $và$ NPQ $nằm trên $d.$
Bài 7:Cho 2014 người tham gia 1 cuộc họp. Biết 1 người có nhiều nhất k đối thủ. Xếp 2014 người này vào 1 bàn tròn có 2014 chỗ ngồi sao cho không ai ngồi cạnh đối thủ của mình. Có thể thực hiện được không nếu:
a)$ k=1006$ ?
b)$ k=1007 $?

Bạn nào chỉ mình 2 bài hình với. khó quá :/