Tìm số chính phương
 

Tìm số có 4 chữ số $\overline{abcd} $ sao cho
$\overline{abcd} $ là số chính phương
$\overline{dcba} $ là số chính phương

$t^2=\overline{abcd} $
Do $a $ chỉ có thể là $1,4,5,6,9 $ nên t chỉ có thể là các số từ:$ \overline{32,44}; \overline{64,83};\overline{95,99} $
Kiểm tra trực tiếp thấy chỉ có $t=33 $ và $t=99 $ thỏa. Suy ra có 2 số là $1089 $ và $9801 $.

Đặt $m^2=\overline{abcd} ; n^2=\overline{dcba} $
Dễ thấy $11 | m^2 + n^2 $.
Do 11 là số nguyên tố nên suy ra m và n cùng chia hết cho 11.
Mặt khác dễ thấy $m \equiv n (mod 3) $.

Vậy chỉ cần thử "nội bộ" 3 bộ số sau là tính đc $(m ; n) = (33 ; 99) $ : $(11 ; 44 ; 77) ; (22 ; 55 ; 88) ; (33 ; 66 ; 99) $.