Đa giác đều(Russia)
 

Cho đa giác đều hữu hạn đỉnh.Ta tô màu các cạnh của đa giác bằng các màu sao cho các đỉnh cùng màu tạo thành đa giác đều.CMR:tồn tại 2 đa giác đều khác màu đồng dạng

Xin lỗi mọi người đề bài có chút nhầm lẫn:
Cho đa giác đều hữu hạn đỉnh.Ta tô màu các đỉnh của đa giác bằng các màu sao cho các đỉnh cùng màu tạo thành đa giác đều.CMR:tồn tại 2 đa giác đều khác màu đồng dạng

Gọi $n$ là số đỉnh của đa giác, $w$ là căn đơn vị bậc $n$. Đặt các số $w^0, w^1,..., w^{n - 1}$ lên các đỉnh $1, 2, ..., n$. Giả sử ta chia thành $t$ đa giác con, đa giác con thứ $i$ có $d_i$ đỉnh và có một đỉnh là $v_i$.
Ta có: $x^n - 1 = \prod_{i = 1}^{t}{\prod_{k = 0}^{d_i - 1}{(x - w^{v_i + \frac{kn}{d_i}})}} = \prod_{i = 1}^{t}{(x^{d_i} - w^{v_id_i})}$.
Giả sử $d_1 < d_2 < ... < d_t$. Xét hệ số của $x^{d_1}$ ở hai vế ta có ngay điều vô lý.

Một số phân tích về bài toán:
[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]