phương trình khó
 

Tìm tất cả các bộ $a,b,c,d $ nguyên dương :
$(abc)^{127}=(a^3+b^3+c^3)^d $

Hay thật ta có
$ a^3+b^3+c^3=m(abc)^u $
với m ko chia hết cho abc
=> tồn tại p nguyên tố s/c$ p |m $ mà ko chia hết abc
$ m=1 $ => $ a^3+b^3+c^3=(abc)^u $ dễ có$ u |127 $

Bài nay quả là không đơn giản .Lời giải của nó khá rắc rối.Có thời gian mình sẽ post lên sau

Gọi $p $ là $1 $ ước nguyên tố chung của $a;b;c $
$a=p^x.m ; b=p^y.n ; z=p^z.k $ và ta có thể giả sử $x=min{x;y;z} $.
Ta chứng minh $a=b=c $ . Giả sử $a \neq b \neq c $
$(abc)^{127}=p^{127(x+y+z)}.A $
$(a^3+b^3+c^3)^d=p^{3dx}.B $ với $(B;p)=1 $
Rõ ràng :
$127(x+y+z)=3dx < d.(x+y+z) $
$=> d >127 $ .mặt khác theo AM-GM:
$(abc)^{127}=(a^3+b^3+c^3)^d \geq (3abc)^d. $
$=> 127 > d $. Vô lí
Do đó $a=b=c $. Từ đó giải quyết bài toán .