Tính Noether, Artin, nội xạ, tự do của ZxZ?
 

xét tính Noether, nội xạ , tự do, Artin của $\mathbb{Z}-modul $, $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} $

ZxZ là tự do, một Z- cơ sở là { (1,0), (0,1) }. Vì ZxZ là nội xạ khi và chỉ khi Z nội xạ nên ta chỉ cần xét xem Z có nội xạ hay không là đủ. Một modun trên một miền chính là nội xạ khi và chỉ khi nó là chia được, mà Z là miền chính nên ta chỉ cần kiểm tra xem Z có phải là Z-modun chia được hay không là đủ. Không có số nguyên c thoả mãn 2c=3 nên Z không phải là Z-modun chia được. Vậy là ZxZ không phải là một Z-modun nội xạ. Còn hai phần sau mình nhớ là có vành Artin, vành Noether nhưng làm gì có hai loại modun đó nhỉ? Nếu có thể thì bạn nhắc lại giúp mình được không?

Sai đâu?


Quên mất! Thế nào là modun Noether , Artin?

Em không biết sách nào cả. Anh giúp em nhé?

Vâng, thế chiều nay em lên Bà Triệu tìm xem sao. Sách tiếng Việt bây giờ hiếm lắm.

:)) Có chứ

Anh đọc chương 6, Atiyah-McDonald : Chain Conditions, ngay mấy dòng đầu nó định nghĩa Module Noether roài

Module M là Noether nếu mọi dãy tăng các module con của nó là dừng. Nếu thay bằng dãy giảm thì cho ta Module Artin.

Ờ! :hornytoro: Thế theo chú cái modun đó có là Artin hay Noether không?

Anh tra trong sách của Atiyah-McDonald đi, trong đó có vài tiêu chuẩn kiểm tra. Còn cái nội xạ, với xạ ảnh thì trong Nhập môn đại số đồng điều của Hu, bản dịch tiếng Việt, có đủ mấy tiêu chuẩn luôn. Chứ em ngại xem lại lắm :)), vì vốn không thạo đại số :))

Z là Noether nên ZxZ là Noether,Z ko Ảtin nên thằng đó ko Artin

Tìm mua quyển "cơ sở lý thuyết Module" của thầy Dương Quốc Việt - NXB ĐHSPHN
ĐN: A_module M được gọi là Noether nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
i, Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần tử cực đại.
ii, Mọi dãy tăng những module con của M đều dừng.
iii, Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh
Còn module Artin thì ngược lại!!

Thế còn chứng minh Z là một vành noether thì làm thế nào ạ :beated:
------------------------------
Cho em hỏi chứng minh vành các số nguyên Z là vành Noether thì làm thế nào ạ :sad:

Vì $\mathbb{Z}$ là vành chính nên mọi ideal của nó đều hữu hạn sinh. Do đó $\mathbb{Z}$ là vành Noether.