Câu hỏi về Topology
 

Chào các bạn,
Hiện nay mình sắp học đến phần topology, mặc dù mình có tìm trên google nhưng vẫn chưa hình dung hết các nội dung của mảng này. Vậy nên mình muốn hỏi các bạn/anh chị đã từng học về topology một số câu hỏi sau:
_Để học tốt môn này thì mình phải trang bị các kiến thức ở các mảng khác (giải tích, đại số, ...) ở mức nào? Ý mình là phần này có liên quan đến các mảng khác hay không?
_Ứng dụng của topology.
Mình xin cảm ơn.

Nếu bạn mới sắp sửa học tới học phần topo ở trình độ cử nhân và đó là lần đầu tiên bạn học topo thì có lẽ bạn chẳng cần phải chuẩn bị gì nhiều. Nếu trước đó biết không gian metric thì tốt, vì như vậy bạn có những ví dụ đầu tiên về không gian topo.

Cái bạn nên chuẩn bị ban đầu có lẽ là một ít lý thuyết tập hợp (ví dụ bổ đề Zorn).

Ứng dụng của Topo thì quá bạt ngàn, giống như ứng dụng của Toán học. Có một bài viết của GS Nguyễn Tiến Dũng trên site của GS về topo. Mình chỉ nhớ đại khái câu này: topo đơn giản là giải tích định tính. Theo cách hiểu của mình thì nó là thứ nằm giữa giải tích và hình học.

Em cảm ơn anh 99, nhưng anh nói là "tô pô nằm giữa giải tích và hình học", vậy lý thuyết tập hợp đóng vai trò gì vào 2 mảng ấy vậy anh ?

À anh có thể gợi ý em một số tài liệu cho người mới nhập môn không anh?

Lúc mới học thì mình đọc hai quyển:
-James Munkres: Topology;
-O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev: Elementary Topology: Textbook in Problems;
Quyển sau học ôn thi thích hơn.

P/s: Ứng dụng của topo thì không thể nói ra được :D Nó là cơ sở như kiểu không gian vector hay nhóm, mình nghĩ vậy.
Còn lúc mới học thì ngay sau buổi đầu tiên là biết chứng minh định lý cơ bản của đại số, điểm bất động Brouwer, Borsuk-Ulam,... (Winding number). Học xong định nghĩa topo, thì thầy giáo giới thiệu chứng minh của Furstenberg cho định lý vô hạn số nguyên tố. Cực kì đẹp và cực kì xúc động :))

Hi Gallus,
Mình đang tò mò cái chứng minh có vô hạn số nguyến tố sau khi học định nghĩa topo, bạn nêu ra được không?

Hi, trên wiki cũng có bạn ạ.
Mình dán luôn link vào đây:

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
P/s: mình xin lỗi là link ko hoạt động. Bạn đánh Furstenberg's_proof_of_the_infinitude_of_primes vào google hoặc wiki là tự nó tìm ra luôn.

Xin lỗi bạn vì mình quên không trả lời bạn. Thật ra thì vì bạn mới học, thì sẽ phải học topo đại cương, và phải dùng các định nghĩa của tập hợp. Trong môn topo đại cương có khá nhiều định lý khó, ví dụ tiêu chuẩn compact của Alexander (hay Alexandroff gì đó). Rồi bản thân khái niệm tập compact trong không gian topo cũng không dễ hiểu cho lắm, nếu nền tảng kiến thức lý thuyết tập hợp hơi mỏng.

Bạn có thể tham khảo Kelley, topo đại cương, bản dịch của Hà Huy Khoái, để thấy rõ hơn điều 99 nói.

Topo là môn học trừu tượng và mang những tính chất đẹp! Bởi vì tôpô mô tả từ các đơn giản đến cái cụ thể thông qua các khác niệm cơ bản của tôpô. Nếu học tốt tôpô bản sẽ hiểu rõ hơn bản chất của toán học! Bạn có thể tham kháo cuốn kelly, Robertson,....