Diễn Đàn MathScope - Tôpô phân lá

Có mấy cái thí dụ thế này

1. Xét mặt phẳng $\mathbb{R}^{2} $, hãy xem trục hoành là $\mathbb{R} $, gọi nó là đáy. Cứ mỗi điểm $x $ trên trục hoành, dựng đường thẳng qua $x $ và song song với trục tung. Mỗi đường thẳng như vậy gọi là một lá. Kết quả là ta có một phân lá trên đáy $\mathbb{R} $. Đối với phân lá này, các lá của nó là liên thông, đơn liên nhưng không compact và tất cả các lá của nó đều đồng phôi với nhau. Bây giờ, xét quan hệ tương đương bằng cách đồng nhất các điểm thuộc cùng một lá lại với nhau thì không gian các lá lúc này chỉ còn lại những điểm $x $ trên trục hoành, tức là $\mathbb{R} $. Không gian lá này có những tính chất đẹp vì nó là $\mathbb{R} $ mà.b-)

2. Bây giờ, hãy nối hai đầu mút của đáy $\mathbb{R} $ lại với nhau, ta có phân lá trên đáy là đường tròn $S^{1} $. Mỗi lá lúc này là đường sinh của mặt trụ tròn xoay. Đối với phân lá này, ta cũng có các lá liên thông, đơn liên, không compact và tất cả các lá đều đồng phôi với nhau. Xét lại quan hệ tương đương như trên thì không gian lá lúc này chính là đường tròn $S^{1} $ và cũng có những tính chất đẹp.:)

3. Tiếp tục, hãy dán hai đáy của mặt trụ tròn xoay lại với nhau, lúc này ta có mặt xuyến và mỗi lá lúc này trở thành đường tròn $S^{1} $. Đối với phân lá này, các lá liên thông, đơn liên, compact và tất cả các lá đều đồng phôi với nhau. Với quan hệ tương đương như trên, không gian lá lúc này chính là, thực chất là đồng phôi, đường tròn $S^{1} $ và vẫn có những tính chất đẹp.:d

Trong trường hợp tổng quát, không thể mô tả kiểu như vậy được mà người ta định nghĩa phân lá bằng cặp bao gồm một đa tạp trơn cùng với một phân bố khả tích, thường là phân thớ tiếp xúc thỏa mãn thêm một số điều kiện nào đó, trên đa tạp đó và cặp như vậy gọi là phân lá.

Lúc này, không gian lá xác định bởi quan hệ tương đương như trên không có nhiều tính chất đẹp. Chẳng hạn, nó không Hausdorff, dẫn đến giới hạn không duy nhất, không thể định nghĩa vi phân, tích phân. Với phân lá như vậy, thì A. Connes trang bị thêm độ đo hoành và sau một số bước kỹ thuật thì dẫn đến khái niệm $C^{*} $-đại số của phân lá. Đối với $C^{*} $-đại số thì dùng các công cụ kinh điển là K-lý thuyết hoặc KK-lý thuyết để nghiên cứu.

Cả tháng nay đang bí ở chỗ kỹ thuật xây dựng cái $C^{*} $-đại số của phân lá. Khổ nỗi, ông A. Connes - giải field năm 1982 thì phải - toàn viết là ''It is very easy to see that...'' hoặc ''It is very easy to clarify that...'' cứ như là toán lớp 1 mà chẳng thèm giải thích gì cả. Thầy hướng dẫn thì quá bận, không dám làm phiền. Ở TP. HCM thì có quá ít người học và nghiên cứu về cái món này. Bó tay.:sad: