Trích:
Nguyên văn bởi hqdhftw  Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK 2012-2013 Ngày 1: Câu 4:: Cho $\triangle ABC, M,N$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $\angle BAM = \angle CAN= \alpha$ ($M$ nằm giữa $B,N$). Gọi $I$ là trung điểm $BC$. Kẻ $BH \perp AM, CK \perp AN$ lần lượt tại $H,K$. a/Chứng minh tâm đường tròn $(IHK)$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định. b/Tính $\alpha$ theo $\angle ABC$ và $\angle ACB$ sao cho $(IKH)$ tiếp xúc với đường tròn đường kính $AB$ hoặc đường tròn đường kính $AC$. |
a) Gọi AT là đường cao của tam giác ABC. Suy ra tứ giác AHTB và ATKC nội tiếp.
Do đó $\widehat{HTI}=\widehat{BAH}=\alpha =\widehat{CAK}=\widehat{ITK} $. Suy ra I,H,T,K đồng viên. Vậy tâm (IHK) thuộc đường trung trực của TI cố định.
b) Gọi (O) là đường tròn đường kính AB
Ta có tứ giác AHTB nội tiếp (O). Do đó (O) giao (IHK) tại T và H.
Để (O) và (IHK) tiếp xúc thì T trùng H dẫn đến AM là đường cao của tam giác ABC.
Khi đó $\alpha = 90-\widehat{ABC} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]