Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - [Vòng 2] Ngày thứ nhất- Đề thi chọn HSG lớp 11-12 KHTN 2012-2013

pth_tdn · 28-10-2012, 08:34 AM

2/ $3a^2+21b^2=(3c+d)^2+14d^2 \Leftrightarrow 3a^2-x^2=7(2d^2-3b^2) $, $x=3c+d $.
Do một scp chia 7 chỉ có thể nhận dư thuộc ${0;1;2;4} $ mà $3a^2-x^2 \vdots 7 $ nên $7|a; 7|x $.
Suy ra $2d^2-3b^2 \vdots 7 $, tương tự có $7|d, 7|b $.
Giả sử pt có nghiệm $(a,b,x,d) $ khác $(0,0,0,0) $.
Đặt $a_1, b_1, x_1, d_1 $ là nghiệm có $|a_1|+...+|d_1| min $
Tương tự ta có $7|a_1;...;7|d_1 $ hay $a_2=\frac{a_1}{7},..., d_2=\frac{d_1}{7} $ cũng là nghiệm của pt, mà $|a_2|+...+|d_2| < |a_1|+...+|d_1| $, vô lí
Vậy pt chỉ có nghiệm $a=b=c=d=0 $.

28-10-2012, 08:34 AM	#7
pth_tdn +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: HCM City Bài gởi: 183 Thanks: 25 Thanked 240 Times in 122 Posts	2/ $3a^2+21b^2=(3c+d)^2+14d^2 \Leftrightarrow 3a^2-x^2=7(2d^2-3b^2) $, $x=3c+d $. Do một scp chia 7 chỉ có thể nhận dư thuộc ${0;1;2;4} $ mà $3a^2-x^2 \vdots 7 $ nên $7\|a; 7\|x $. Suy ra $2d^2-3b^2 \vdots 7 $, tương tự có $7\|d, 7\|b $. Giả sử pt có nghiệm $(a,b,x,d) $ khác $(0,0,0,0) $. Đặt $a_1, b_1, x_1, d_1 $ là nghiệm có $\|a_1\|+...+\|d_1\| min $ Tương tự ta có $7\|a_1;...;7\|d_1 $ hay $a_2=\frac{a_1}{7},..., d_2=\frac{d_1}{7} $ cũng là nghiệm của pt, mà $\|a_2\|+...+\|d_2\| < \|a_1\|+...+\|d_1\| $, vô lí Vậy pt chỉ có nghiệm $a=b=c=d=0 $.