Trích:
Nguyên văn bởi bboy114crew  Câu 1: Cho dãy số ${x_n}$ xác định bởi :
$\left\{\begin{matrix}
&x_1=5;x_2=\frac{17}{2} \\
& x_{n+1}=\frac{1}{4}x_nx_{n-1}^2-2x_n-4
\end{matrix}\right.$
$n \ge 2$
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho $[x_n] + 3$ là lập phương của một số tự nhiên .
Câu 2: Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix}
&x^2(y+3)=4(2-y) \\
& y^2(z+3)=4(2-z) \\
& z^2(x+3)=4(2-x)
\end{matrix}\right.$ |
Em xin giải bài 1 như sau :
*Đặt dãy $U_{n} = 2^{2^{n-1}+1} \ \forall n \in \mathbb{N^*} $
*Ta sẽ CM bằng quy nạp $x_{n} = U_{n} + \frac{4}{U_{n}} \forall n \in \mathbb{N^*} $
Thật vậy n =1,2 đúng do $\begin{cases} x_{1} = 2^2+ 1 = U_1 + \frac{4}{U_1} \\ x_2 = \frac{17}{2} = 2^3 +\frac{1}{2} = U_2 + \frac{4}{U_2} \end{cases} $
Giả sử đúng tới $n=k \\ (k \ge 3 ) $
khi đó với $n = k+1 $ thì $x_{k+1} =\frac{1}{4}.x_k.x_{k-1}^2 - 2x_k - 4 = \frac{1}{4}.(U_{k} + \frac{4}{U_k} ).(U_{k-1} + \frac{4}{U_{k-1}})^2 - 2.(U_k+\frac{4}{U_{k}}) - 4 $
Do : $U_{k} = \frac{U_{k-1}^2}{2} $
Nên :$x_{k+1} =\frac{1}{4}.(U_{k} + \frac{4}{U_k} ).(2U_{k} + 8 +\frac{8}{U_{k}} ) - 2.(U_k+\frac{4}{U_{k}}) - 4 =\frac{U_{k}^2}{2} + \frac{8}{U_{k}^2} = U_{k+1} + \frac{4}{U_{k+1}} $
Suy ra $n = k+1 $ đúng
Theo nguyên lý quy nạp ta có :
$x_{n} = 2^{2^{n-1}+1} + \frac{1}{2^{2^{n-1} - 1}} \\ \forall n \ge 2,n \in \mathbb{N} $
Do đó : $[x_n] = 2^{2^{n-1}+1} \ \forall n \ge 2 $
*)Tìm n :
+) n =1 thì $x_1+3=8 $ thỏa mãn
+) $ n \ge 2 $
Ta cần tim $ n \in N^* $ sao cho $2^{2^{n-1}+1} + 3 = A^3 $
+)$ n \ge 2 $ thì ta có $2^{2^{n-1}+1} \equiv 1 (\mod 7) $ nên $A^3 \equiv 4 (\mod 7) $
Mặt khác $A^3 \equiv 0,1,6 (\mod 7) $
Như vậy chỉ có
n = 1 thỏa mãn bài toán
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]