Em giải theo hướng này, có vẻ đơn giản. Giả sử n bạn nam theo thứ tự từ trái qua phải là $A_{1},A_2...A_n $ và bên trái $A_i $có $b_i $ bạn nữ,$ b_i $ tự nhiên, có thể là 0, không vượt quá n. Số kẹo $A_i $ nhận là $b_i(n-b_i) $ Dễ thấy $b_1,b_2,...b_n $ là dãy tăng ( không nhất thiết nghiêm ngặt) Giữa $A_i,A_{i+1} $ có $ b_{i+1}-b_i $ bạn nữ, mỗi bạn này nhận $i(n-i) $ kẹo( có thể không có bạn nữ nào) Tổng số kẹo các bạn nữ nhận là: S= $\sum_{1}^{n}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $ Số lần xuất hiện của $b_i $ trong S là $(i-1)(n-i+1)-i(n-i)=2i-1-n $, do vậy S= $\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-n) $ Suy ra tổng số kẹo 2n bạn nhận là T=$\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-b_i) $ Ta có $(b_i-i)(b_i-(i-1))\geq0 $ do $b_i $ nguyên, suy ra $i(i-1) \geq b_i(2i-1-b_i) $ Do vậy T không vượt quá $0.1+1.2+...+(n-1)n=\frac{n(n^2-1)}{3} $, có đpcm [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] __________________ Quay về với nơi bắt đầu thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 12-01-2012 lúc 10:49 PM |