Trích:
Nguyên văn bởi alltheright Nói thì dễ mà làm thì khó anh ạ Anh thử post bài giải cẩn thận cho em tham khảo được không ạ |
Nếu $a=1 $ thì $b=1 $ và ngược lại.
Nếu $a,b>1 $, suy ra $a,b $ có cùng tập ước nguyên tố.
Giả sử $a=\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i}}, b=\prod_{i=1}^n{p_i^{\beta_i}} $.
$\Rightarrow \alpha_i.b^2=\beta_i.a $, hay là:
$\frac{b^2}{a}=\frac{\beta_i}{\alpha_i} $.
*) Nếu $b>a $ suy ra $\beta_i>\alpha_i $, với mọi $i $.
Khi đó ta có:
$\frac{b^2}{a}=\prod_{i=1}^n{p_i^{2\beta_i-\alpha_i}}>\prod_{i=1}^n{p_i^{\beta_i}}>\prod_{i=1 }^n{\beta_i}\geq \frac{\beta_i}{\alpha_i} $, vô lý.
*) Nếu $b\leq a $ suy ra $\beta_i\leq \alpha_i $, với mọi $i $. Suy ra $b^2 \leq a $.
Nếu $b^2=a $ thì $a=b=b^2 $, hay $b=1 $, vô lý.
Vậy $b^2<a $
Do đó $2\beta_i < \alpha_i $, với mọi $i $.
Khi đó ta có:
$\Rightarrow \alpha_i\vdots \beta_i $, $\alpha_i=k.\beta_i, k>2 $.
$\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i-2\beta_i}}=\frac{\alpha_i}{\beta_i}=k $
Mặt khác $k=\prod_{i=1}^n{p_i^{\alpha_i-2\beta_i}}=\prod_{i=1}^n{p_i^{(k-2).\beta_i}}\geq \prod_{i=1}^n{p_i^{k-2}}\geq (2^{k-2})^n $.
Bất đẳng thức này chỉ đúng với $n=1, k\leq 4 $.
+) Với $k=3 $, ta có:
$3=p^{\beta} $, suy ra $p=3, \beta=1 $.
Ta được $a=27, b=3 $.
Với $k=4 $, ta có $p=2, \beta=1, \alpha=4 $.
+) Ta được $a=16,b=2 $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]