Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An  Bài 3. Với mỗi đa thức $f(x)$, ký hiệu $T(f)$ là tổng bình phương các hệ số của $f(x)$. Cho $P\left( x \right) = \prod\limits_{1 \le k \le 2020} {\left( {x + k} \right)}$, chứng minh rằng tồn tại $2^{2019}$ đa thức $Q_k(x)$ ($1\le k\le 2^{2019}$) có các hệ số là các số thực dương và có bậc là $2020$ sao cho\[T\left( {{Q_k}{{\left( x \right)}^n}} \right) = T\left( {P{{\left( x \right)}^n}} \right),\;\;\;{\kern 1pt} \forall {\mkern 1mu} n \in \mathbb N^*.\] |
Lời giải sau cho bài 3 là của Nguyễn Tiến Lâm Xét đa thức $F(x)=\left(a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m\right)\left(a_m +a_{m-1}x+\ldots+ax\right)^m$, trong đó $\left(a_m+a_{m-1}x+\ldots+ax\right)=x^mF\left(\dfrac{1}{x}\right) $, lúc này hệ số của $x^m$ trong $F(x)$ sẽ là \[a_0^2 + a_1^2 + \ldots + a_m^2 = T\left( {f\left( x \right)} \right).\] Xét đa thức $H(x)=P(x)x^2020P\left(\dfrac{1}{x}\right)=\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \ldots \left( {x + 2020} \right)\left( {1 + x} \right)\left( {1 + 2x} \right) \ldots \left( {1 + 2020x} \right)$. Lúc này hệ số của $2020$ trong $H(x)$ sẽ là tổng bình phương các hệ số trong $P(x)$. Quy nạp ta suy ra hệ số của $x^{2020^n}$ trong $H(x)^n$ sẽ bằng $T \left( P(x)^n \right)$. Xét đa thức $Q_x(x)$ đạt được bằng cách trong đa thức $P(x)$ thay một số thừa số có dạng $x+j$ bằng thừa số $jx+1$. Rõ ràng có $2^{2019}$ đa thức $Q_x(x)$ thế này do số tập con của ${2,\,\ldots,\,2020}$ là $2^{2019}$ và bậc của $Q_x(r)$ là $2020$. Ta sẽ chỉ ra $T\left( {{Q_x}{{\left( x \right)}^n}} \right) = T\left( {P{{\left( x \right)}^n}} \right),{\mkern 1mu} \forall n$. Ta có ${Q_x}\left( x \right){x^{2020}}{Q_x}\left( {\frac{1}{x}} \right) = H\left( x \right)$. Do đó hệ số của $x^{2020^{n}}$ của $H(x)^n$ sẽ bằng $T\left( {{Q_x}{{\left( x \right)}^n}} \right)$ kết hợp với hệ số của $x^{2020^n}$ của $H(x)^n$ bằng $T\left( {P{{\left( x \right)}^n}} \right)$, ta có $$T\left( {{Q_x}{{\left( x \right)}^n}} \right) = T\left( {P{{\left( x \right)}^n}} \right),{\mkern 1mu} \forall n.$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]