[psquang_pbc]

Xì bam câu 2

Bài 2 là hệ quả của tính chất đẹp mắt sau đây của dãy Fibonaci :

$a_n $ có tận cùng là $k $ chữ số 0 khi và chỉ khi $n $ chia hết cho $\frac{3.10^k}{4}. $

Chứng minh :Ta lại xài 2 bổ đề nhỏ :

$a_n\;\vdots\;5^k\Leftrightarrow n\;\vdots\;5^k.(1) $

và :

$a_n\;\vdots\;2^k\Leftrightarrow n\;\vdots\;3.2^{k-2} (2) $

Chứng minh (1).Dễ chứng minh $a_{5n}=5a_{n}.b_{n},b_{n}\;\not\vdots\;5. $

Giả sử $n=5^st $ với $gcd(5,t)=1 $. Khi đó theo nhận xét trên thì $u_n=5^sb_t.c_n, c_n\;\not\vdots\;5 $. Nếu $t\;\not\vdots\;5 $ thì $a_t\;\not\vdots\;5 $. Vì thế :

$a_n\;\vdots \;5\Leftrightarrow s\ge k \Leftrightarrow n\;\vdots\;5^k. $

Chứng minh (2). Ta có :

$a_{2n}=a_n.d_n, $ trong đó $(d_n)_{n=1}^{\infty} $ xác định bởi :

$d_0=2,d_1=1,d_{n+2}=d_{n+1}+d_n $. Dễ thấy :

$d_n\; \not\vdots \;2\Leftrightarrow n\;\not\vdots\;3 $

và $d_n\equiv \;2\;mod\;4 \Leftrightarrow n\;\vdots \;6. $

Giả sử $a_n\;\vdots \;2^k,n=2^st, t $lẻ .

Quan sát 1 chút ta thấy $a_n\;\vdots \;8 \Leftrightarrow n\;\vdots \;6 hay t\;\vdots \;3. $

Mặt khác :

$a_n=a_{2t}d_{2t}d_{4t}....d_{2^{s-1}}r=a_2t2^{s-1}e_n $, với $e_n $ luôn lẻ.

Ta cũng có với $t $ lẻ, $t $ chia hết cho 3 thì $a_{2t}\equiv 8\;(mod 16) $ suy ra

$a_n=2^{s+2}i_n,i_n $ lẻ. Vì vậy $s+2\ge k $(dpcm)

Từ (1), và (2) ta có thể dễ dàng suy ra được điều phải chứng minh .


Ps. Gõ mệt quá
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]