Trích:
Nguyên văn bởi hansongkyung  Bài này hình như là đã được đăng trên THTT. Cho các số thực không âm $x, y, y $ thỏa mãn $x+y+z=1 $. Chứng minh rằng: $\sum \frac{x^2+1}{y^2+1} \le \frac{7}{2} $ Mình thấy dấu bằng lại sảy ra khi $(1; 0; 0) $ nên khó áp dụng được các bđt thông thường, định dùng hàm lồi nhưng thấy chẳng hợp lí gì cả. Xin mọi người chỉ giáo.  |
Giả sử $ x=max(x,y,z) $.Khi đó:
$ VT=\dfrac{x^2+1}{y^2+1}+\dfrac{y^2}{z^2+1}+\dfrac{ 1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) \le x^2+1+y^2+\dfrac{1}{x^2+1}+ \left(\dfrac{1}{z^2+1}+\dfrac{z^2}{x^2+1} \right) $
$ \le (x^2+1)+(y+z)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=(x^2+1)+(1-x)^2+\dfrac{1}{x^2+1}+1=2x^2-2x+3+\dfrac{1}{x^2+1} $
Từ giả thiết ta suy ra $ \dfrac{1}{3} \le x \le 1 $
Ta chứng minh:
$$ 2x^2-2x+3+\frac{1}{x^2+1} \le \frac{7}{2} $$
Tương đương:
$$ (1-x)(1-3x-4x^3) \le 0 $$
Điều này hiển nhiên đúng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]