[zinxinh]

Ta xét mở rộng trường với căn nguyên thủy L->L .Xét tự đẳng cấu của L/Q như sau
$ \phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$ và $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ trong đó $ x,y\in L$
còn nếu $x\in Q$ thì $\phi(x)=x$ gọi là bất biến trên Q
Một tự đẳng cấu như vậy nếu x là nghiệm đa thức bất khả quy tối tiểu bậc k thì $\phi(x)$ cũng là đa thức tối tiểu của đa thức đó.Các bạn có thể chứng minh một cách dễ dàng,bằng sử dụng tính đồng cấu
Nghiệm của đa thức $x^{n}-1=0$ có nghiệm là $\epsilon^{k}$ với $ k \in N ,k<n$ nó bao hàm hết các nghiệm của đa thức $x^{n}-1=0$
Tuy nhiên đa thức tối tiểu nhận $\epsilon$ là nghiệm không cần bậc cao đến n
Vừa rồi có vẻ văn hoa một chút cho đỡ nhàm chán ,chúng ta xem các tự đồng cấu trường nghiệm căn nguyên thủy bậc n là $\phi(\epsilon)=\epsilon^{k} $ khi nào là đẳng cấu nó chuyển trường từ $L=Q(\epsilon)->L$
Gọi a=UCLN(n,k) mà a>1 thì n=ab,k=ac $b,c \in N$ khi đó $\phi(\epsilon^{b})=\epsilon^{kb}=\phi(\epsilon^{a bc})=\phi(\epsilon^{nc})=\phi(1)=1 => \epsilon^{b}=1$ là vô lý do tính đẳng cấu.Điều đó cho rằng $\phi $ là tự đẳng cấu khi và chỉ khi UCLN(k,n)=1
Vậy ta tính được có chính xác $\Phi(n)$ hàm phi ơ le các tự đẳng cấu từ L->L
Bởi vậy ta có đa thức tối tiểu nhận $\epsilon $ là nghiệm là đa thức $\Phi_{n}(x)=\Pi(x-\epsilon^{k}),k \in N,(k,n)=1,0<k<n$ gọi là đa thức Cyclotomic polynomial
Nói thêm đa thức này là ước của đa thức $x^{n}-1=0$ có hệ số nguyên,do là đa thức tối tiểu nên nó là đa thức bất khả quy trên Q có bậc $\Phi(n)$

Chúng ta đã tìm được đa thức tối tiểu nhận $\epsilon$ là nghiệm,chứng minh một cách khá chi tiết.Với người học hết năm thứ hai đại học đều phải học qua lý thuyết nhóm ,tôi chỉ quan tâm nhóm sau gọi là $Z(n)=$ {$k\in N ,0<k<n,(k,n)=1$}.Nhóm này có cấp là $\Phi(n)$ nghĩa là có $\Phi(n)$ phần tử
Xét nhóm con H(n)={$ k\in N ,0<k<n,k=a^{2}(mod $ n),Chỉ số $\Phi(n):H(n)=2 $
Gọi K là trường bất biến với các phép tự đẳng cấu của nhóm H(n) ,vậy thì K:Q=2 lúc đó $\Phi_{n}(x)=R(x)S(x)$ trong đó $R(x),S(x)$ là các đa thức với hệ số trên trường K là nghiệm các đa thức có dạng $x^{2}+ax+b=0$,a,b là các số nguyên
Nhận thấy $\frac{x^{n}-1}{x-1}=\Pi(x-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<n}=\Pi(x-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}\Pi(x-\epsilon^{-k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}$
Cho x=1 thì $n=\Pi(1-\epsilon^{k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}\Pi(1-\epsilon^{-k})_{k \in N,0<k<\frac{n}{2}}$ (*)
Với n lẻ thì $(1-\epsilon^{k})(1-\epsilon^{-k})=(1-\epsilon^{k})^{2}\epsilon^{-k}=-(1-\epsilon^{k})^{2}\epsilon^{(n-1)k}=-(1-\epsilon^{k})^{2}(\epsilon^{\frac{(n-1)k}{2}})^{2}$
Từ (*) ta có $n=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\Pi(1-\epsilon^{k})^{2}(\epsilon^{\frac{(n-1)k}{2}})^{2}_{k\in N ,0<k<\frac{n}{2}}$
Kết quả bất ngờ $\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n }\in K$ Biệt thức $\Delta $ của phương trình $x^{2}+ax+b=0$ có dạng $c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$ trong đó $c,d \in Z$ Và do đó hệ số đa thức R(x),S(x) có dạng $\frac{a+b\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n }}{2}$ trong đó $a,b \in Z$
Đến hôm nay tôi chỉ rõ là $R(x)=\Pi (x-\epsilon^{k})_{k\in H(n)}$.Mỗi hệ số trong đó đều thuộc trường K là nghiệm của phương trình đa thức $x^{2}+ax+b=0$ có hệ số bậc cao nhất là 1, biệt thức $\Delta=c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$ trong đó c,d là số nguyên,vì vậy mà hệ số trong R(x) đều có dạng $\frac{c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}}{2}$ c,d là các số nguyên
Từ đó ta có $4\Phi_{n}(x)=R(x)S(x)$ mỗi hệ số trong R(x) và S(x) có dạng $c+d\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}$
Cuối cùng là $R(x)=A(x)+\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}B(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức với hệ số nguyên A(x) có hệ số bậc cao nhất là 1
$S(x)=C(x)+\sqrt{(-1)^{\frac{n-1}{2}}n}D(x)$ trong đó C(x),D(x) là đa thức với hệ số nguyên C(x) có hệ số bậc cao nhất là 1,Bậc đa thức A(x) và C(x) có bậc bằng nhau và bằng $\frac{\Phi(n)}{2}$
Vì \[\begin{array}{l}
4{\Phi _n}(x) &= R(x)S(x)\\
&= \left( {A(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} B(x)} \right)\left( {C(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} D(x)} \right)\\
&= A(x)C(x) + {( - 1)^{\frac{{n - 1}}{2}}}nB(x)D(x) + \sqrt {{{( - 1)}^{\frac{{n - 1}}{2}}}n} \left( {A(x)D(x) + B(x)C(x)} \right).
\end{array}\]
Từ hệ số nguyên của $4\Phi_{n}(x)$ mà $A(x)D(x)+B(x)C(x)=0$ vì thế $A(x)=C(x),D(x)=-B(x)$
Vậy là $4\Phi_{n}(x)=A^{2}(x)-(-1)^{\frac{n-1}{2}}nB^{2}(x)$ trong đó A(x),B(x) là đa thức có hệ số nguyên
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]