[duynhan]

Nguyên văn bởi batigoal

Bổ sung thêm phương pháp quy nạp toán học:

Bài1.Chứng minh rằng với mọi số nguyên n>=0 .Ta có:
$1+2^{4n+2}+3^{4n+2}+4^{4n+2}+5^{4n+2}+6^{4n+2} $ chia hết 13

Đúng với n=1.
Giả sử đúng với n=k
Chứng minh đúng với n=k+1.
Tức là cần chứng minh:

$ 1+ 2^4. 2^{4k+2}+ 3^4.3^{4k+2} + 4^4.4^{4k+2}+5^4. 5^{5k+2} + 6^4.6^{4k+2} \vdots 13 $

hay cần chứng minh:

$1+ 3. 2^{4k+2}+ 3.3^{4k+2} + 9.4^{4k+2}+5^{5k+2} +9.6^{4k+2} \vdots 13 $

Kết hợp giả thiết quy nạp ta cần chứng minh:

$2^{4k+2}+ 3^{4k+2} + 4^{4k+2}+6^{4k+2} \vdots 13 $

mà ta lại có:
$2^{4k+2}+ 3^{4k+2} + 4^{4k+2}+6^{4k+2} \\ = (2^{4k+2}+1)(2^{4k+2}+3^{4k+2}) = (2^{4k+2}+1)(4^{2k+1}+9^{2k+1}) \vdots (9+4) = 13 $
------------------------------

Nguyên văn bởi batigoal

Với mọi nguyên dương n.Ta có:
$2^{2^{n}}+3^{2^{n}}+5^{2^{n}} $ chia hết 19

Đúng với n=1.
Giả sử đúng với n=k
Chứng minh đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh:
$4^{2^{k}}+9^{2^{k}}+25^{2^{k}} \vdots 19 $

Ta có: $\begin{cases} 4^{2^{k}} \equiv 15^{2^k}(mod 19) \\ 9^{2^{k}} \equiv 10^{2^k}(mod 19) \\ 25^{2^k} \equiv 6^{2^{k}}(mod 19) \end{cases} $

Bình phương giả thiết quy nạp + điều trên ta có điều phải chứng minh
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]