Trích:
Nguyên văn bởi Talent  1. Cho đa thức hệ số nguyên P không có nghiệm bội .Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố p sao cho $p||P(n) $ với n là số nguyên nào đó .
(AMM) |
Chứng minh.
Do $P(x) $ không có nghiệm bội nên $(P(x), P'(x))=1 $. Do đó tồn tại số nguyên $c\not=0 $ và các đa thức hệ nguyên $a(x), b(x) $ thoả mãn $a(x)P(x)+b(x)P'(x)=c $.
Giả sử rằng nếu $p\mid P(n) $ thì $p\mid P'(x) $, khi đó $p\mid c $. Vậy $P(n) $ có hữu hạn số nguyên tố, suy ra $P(x) $ là hằng số, vô lí.
Vậy tồn tại vô số số nguyên tố p thoả mãn $p\mid P(n) $ và $p\not|P'(n) $. Giả sử $p^t|| P(n) $.
Chú ý rằng $P(n)=P(n-p^{t-1})+p^{t-1}P'(n-p^{t-1})+p^{2t-2}Q(x, t) $.
Do $p^t|| P(n) $ nên $p^t||P(n-p^{t-1})+p^{t-1}P'(n-p^{t-1}) $. Mặt khác $p\not|P'(n-p^{t-1}) $.Do đó $p^{t-1}||P(n-p^{t-1}) $.
Tương tự như vậy, ta sẽ chứng minh được $p\mid P(n-p^{t-1}-\cdots-p) $. Đây chính là điều phải chứng minh.
PS. Cái lỗi <br/> ở dòng cuối em không tìm được lỗi sai. Các moderator sửa hộ
@SideWinder: Trong công thức đã đc bao bằng thẻ TEX thì ko được xuống dòng nếu ko sẽ xuất hiện lỗi như của bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]