Trích:
Nguyên văn bởi neo_hv  Trong không gian mêtric X. Cho hàm $f: X \rightarrow X $ liên tục đều. A là tập hoàn toàn bị chặn. chứng minh f(A) hoàn toàn bị chặn. |
Bài này là
Đề thi Cao học ĐHSPHN cách đây tầm $3$ tuần.
+/ Vì $f$ là liên tục đều nên ta có:
$\forall \epsilon >0, \exists \delta>0, \forall x_\delta,x'_\delta: d(x_\delta,x'_\delta)<\delta \implies \rho (f(x_\delta),f(x'_\delta))< \epsilon $
+/ Vì $A$ là hoàn toàn bị chặn nên:
$\forall \delta>0$, tồn tại hữu hạn $x_1, x_2, \ldots ,x_n$ thỏa:
$\bf{A} \subset\bigcup_{i=1}^{n}\bf B(x_i;\delta )$
+/ Để chứng minh $\bf f(A)$ là hoàn toàn bị chặn, ta đi kiểm chứng lại:
$\forall \epsilon >0, \bf {f(A)} \subset \bigcup_{i=1}^{n}\bf B(f(x_i);\epsilon )$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]