Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Số nguyên dương $n$ là ước của $a^n-1$

LongRong · 22-01-2016, 07:40 AM

Với $a \ge 3$, ta chọn $n=a-1$ thì $a-1 \mid a^n-1$ nên với mọi $a \ge 3$ đều thoả mãn.
Với $a=1$ thì cũng luôn tồn tại $n$.
Với $a=2$, giả sử $a=2$ thoả mãn. Khi đó tồn tại $n$ sao cho $n \mid 2^n-1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ thì $p \mid n \mid 2^n-1$. Ta có $\text{ord}_p(2) \mid p-1$ và $\text{ord}_p(2) \mid n$ nên $\gcd \left( \text{ord}_p(2), n \right)=1$ vì nếu $\gcd \left( \text{ord}_p(2), n \right)=r>1$ thì $r \mid n, r<p$, mâu thuẫn điều kiện nhỏ nhất của $p$. Vậy $\text{ord}_p(2)=1$ suy ra $p \mid 2-1$, mâu thuẫn. Vậy $a=2$ không thoả mãn.

Vậy các giá trị của $a$ là tất các các số nguyên dương ngoại trừ $2$. $\blacksquare$

22-01-2016, 07:40 AM	#2
LongRong +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2016 Bài gởi: 4 Thanks: 1 Thanked 0 Times in 0 Posts	Với $a \ge 3$, ta chọn $n=a-1$ thì $a-1 \mid a^n-1$ nên với mọi $a \ge 3$ đều thoả mãn. Với $a=1$ thì cũng luôn tồn tại $n$. Với $a=2$, giả sử $a=2$ thoả mãn. Khi đó tồn tại $n$ sao cho $n \mid 2^n-1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ thì $p \mid n \mid 2^n-1$. Ta có $\text{ord}_p(2) \mid p-1$ và $\text{ord}_p(2) \mid n$ nên $\gcd \left( \text{ord}_p(2), n \right)=1$ vì nếu $\gcd \left( \text{ord}_p(2), n \right)=r>1$ thì $r \mid n, r<p$, mâu thuẫn điều kiện nhỏ nhất của $p$. Vậy $\text{ord}_p(2)=1$ suy ra $p \mid 2-1$, mâu thuẫn. Vậy $a=2$ không thoả mãn. Vậy các giá trị của $a$ là tất các các số nguyên dương ngoại trừ $2$. $\blacksquare$ thay đổi nội dung bởi: LongRong, 22-01-2016 lúc 08:44 AM