Trích:
Nguyên văn bởi keodua123  Bài 4 (Vô địch Mĩ 2011).
Với $a, b, c$ là các số thực dương thỏa ${a^2} + {b^2} + {c^2} + {\left( {a + b + c} \right)^2} \le 4$, chứng minh rằng
\[\frac{{ab + 1}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{{bc + 1}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{ca + 1}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} \ge 3.\] |
Ta có:
$\dfrac{ab+1}{(a+b)^2} \geq \dfrac{ab+\dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2}}{(a+b)^2 }=\dfrac{(a+b)^2+(a+c)(b+c)}{2(a+b)^1}=\dfrac{1}{2 }+\dfrac{(a+c)(b+c)}{2(a+b)^2}$
Tương tự với $\dfrac{{bc + 1}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} $ và
$\dfrac{{ca + 1}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}}$
$\Rightarrow VT\geq \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}.(\dfrac{(a+b)(a+c)}{(b+c )^2}+\dfrac{(b+c)(b+a)}{(a+c)^2}+\dfrac{(c+a)(c+b) }{(a+b)^2}\geq 3$
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]