Biến đổi biểu thức thành:
$(f(a) - f(b))^2 = f(c) (2f(a) + 2f(b) - f(c))$
Ta cho các giá trị của $a,b,c$ và nhận được $f$ như sau:
(i) $a = b = c = 0 \Rightarrow f(0) = 0$
(ii) $b = -a, c = 0 \Rightarrow f(-a) = f(a)$
(iii) $a = b = 1, c = -2 \Rightarrow f(2) = 0$ Hoặc $f(2) = 4f(1)$
1. Nếu: $f(2) = 0$
Ta dùng quy nạp để chứng minh: $\Rightarrow f(2n) = 0$
Thật vậy, nếu $f(2k) = 0$ ,
ta cho $a = 2, b = 2k, c = -2k-2 \Rightarrow f(2k+2) = 0$
Vậy: $\Rightarrow f(2n) = 0$ với mọi $n \in N$
Cho $a=2k+1,b=-(2k+3),c=2$ cùng với chú ý (ii) ta có:
$\Rightarrow$ với mọi cặp số lẻ $a, b$, $f(a) = f(b)$
Vây ở trường hợp này $f(x) = c$ với $x$ lẻ, $f(x) = 0$ với $x$ chẵn.
2. Nếu $f(2) = 4f(1)$
Vẫn dùng quy nạp:
Nếu $f(i) = i^2 f(1)$ với mọi $i \leq k$ thì cho $a = 1, b = k, c = -k-1 \Rightarrow f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ hoặc $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$
(*) Nếu $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ thì cho $a=k+1, b=-k+1, c = -2 \Rightarrow f(1) = 0
\Rightarrow f(x) = 0$
(*) Nếu $f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ thì $f(x) = x^2 f(1)$ với mọi $x$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |