[zinxinh]

Không phải là cố ý đâu:
Nếu $z^{2}=P^{4}-Q^{4}=(P^{2}-Q^{2})(P^{2}+Q^{2})$ .Có thể giả sử là (P,Q) có ước chung lớn nhất là 1 .Vì đang xét P,Q,z là các số nguyên dương nhỏ nhất.
Trường hợp 1:$P^{2}-Q^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}$ có ước chung lớn nhất là 2 thì $P^{2}-Q^{2}=2x^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}=2y^{2}$ từ đó suy ra $(PQ)^{2}=y^{4}-x^{4}$ .Vậy là bộ y,x,PQ là bộ nghiệm nhỏ hơn theo nghĩa P là nhỏ nhất.
Trường hợp 2:$P^{2}-Q^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}$ có ước chung lớn nhất là 1
thì $P^{2}+Q^{2}=S^{2}$ và $P^{2}-Q^{2}=T^{2}$ .Do đó $P^{2}=Q^{2}+T^{2}$ cũng có tiếp $S^{2}=P^{2}+Q^{2}=Q^{2}+T^{2}+Q^{2}=2Q^{2}+T^{2}$
Bởi P,Q,z là nhỏ nhất nên ta phải có bộ (S,P,Q) có ước chung lớn nhất là 1 và bộ (P,T,Q) cũng vậy.Vì vậy S,P,T là số nguyên dương lẻ còn Q nguyên dương chẵn
Từ $S^{2}=T^{2}+2Q^{2}----->S=t^{2}+2q^{2}$ thật vậy
$2Q^{2}=S^{2}-T^{2}=(S-T)(S+T)$ .Ấy từ Q chẵn và UCLN(S,T)=1 nên UCLN(S-T,S+T)=2 .Ta suy ra hai số $\frac{S+T}{2},\frac{S-T}{2}$ là hoán vị của ($2W^{2},V^{2}$) hay là $S=\frac{S+T}{2}+ \frac{S-T}{2}=2W^{2}+V^{2}$
Nhưng ta lại có $S=2W^{2}+V^{2}------>(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}$ là số chính phương
Biết $(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}=(\frac{S+T}{2})^{2}+( \frac{S-T}{2} )^{2}=\frac{S^{2}+T^{2}}{2}$
Từ $S^{2}=2Q^{2}+T^{2}------>\frac{S^{2}+T^{2}}{2}=\frac{2Q^{2}+T^{2}+T^{2}}{2 }=Q^{2}+T^{2}=P^{2}$
Từ đó $P^{2}=(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}$
Bộ ba số Pitago xác định luôn
$2W^{2}=2mn$;$V^{2}=m^{2}-n^{2}$;$P=m^{2}+n^{2}$
Từ $Q^{2}=4W^{2}V^{2}=4mn(m^{2}-n^{2})--->(Q/2)^{2}=mn(m^{2}-n^{2})$.Từ UCLN($m,n,m^{2}-n^{2}$)=1 suy ra
$m=M^{2}$ và $n=N^{2}$ hay $V^{2}=M^{4}-N^{4}$ bộ nghiệm M,N,V còn nhỏ hơn. Suy ra điều giả sử là sai vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]