Trích:
Nguyên văn bởi Snow Bell  Ủng hộ bạn một bài.  Bài 4. Cho $ x, y, z $ là các số thực thỏa mãn $ 1 \le x, y, z \le 4 $ và $ x=\max(x, y, z) $. Tìm GTNN của: $$ N=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}. $$ |
Đầu tiên ta có BDT sau:
Nếu $ab \geq 1$ thì $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{1+ab}$
Trở lại bài toán:
Ta đặt $a=\frac{y}{x}$ , $b=\frac{z}{y}$ , $c=\frac{x}{z}$, suy ra $a,b,c>0$ và $abc=1$, BDT trở thành:
$N=\frac{1}{2+3a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$
Do $bc=\frac{x}{y} \geq 1$ nên ta suy ra:
$\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c} \geq \frac{2}{1+/sqrt{bc}}$
Ta tiếp tục đặt $t=\sqrt{bc}$ , theo điều kiện ban đầu đề ta suy ra $t \in [1;2]$. Từ đó bài toán trở thành việc tìm GTNN của :
$N=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{1+t}$ với $t \in [1;2].$
Bằng cách xét hàm ta tìm ra $minN=\frac{34}{22}$, xảy ra khi và chỉ khi $t=2=\sqrt{bc}$ và $b=c$ tức $\frac{x}{y}=4$ và $\frac{x}{z}=\frac{z}{y}$. Kết hợp với điều kiện ban đầu bài toán ta suy ra $x=4,y=1$ và $z=2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]