Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

conan236 · 14-01-2008, 08:34 PM

sao mọi người không làm bài của mình za?
đây là cách giải bài 1 của mình , mình cả thấy hơi dài bạn nào co' lời giải ngắn gọn post lên đây cho mình xem với
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y) $(1)
cho $x=y=2 $ ta được $f(4)+(f(2))^3=f(4)+2f(2){\Rightarrow}f(2)=2 $(do $f(x)>0 $)
lại cho $x=y=1 $ thì có $f(2)+(f(1))^2=3f(1){\Rightarrow}f(1)=1 $ hoặc $f(1)=2 $
1)TH1:$f(1)=2 $ cho $x=1 $ thì $f(x+1)=2 $
${\Rightarrow}f(x)=2 $ với mọi $x>1 $
với $0<x<1 $ thì chọn $y={\frac{1}{x}}>1 $ ta được
$f(x+{\frac{1}{x}})+f(x)f({\frac{1}{x}})=f(1)+f(x)+ f({\frac{1}{x}}) $
${\Rightarrow}2+2f(x)=2+2+f(x){\Rightarrow}f(x)=2 $
vậy trong TH này $f(x)=2 $ với mọi $x{\in}R^{+} $
2)TH2:cho $y=1 $ được $f(x+1)=f(x)+1 $ với mọi $x{\in}R^{+} $
bằng quy nạp dễ dàng suy ra $f(x+n)=f(x)+n $ và $f(n)=n $ , với mọi $n{\in}N* $(2)
tiếp tục ta chứng minh $f(x)=x $ với $x{\in}Q* $
thật vậy thay $x=n $ và $x={\frac{1}{n}} $ vào (1)
$f(n+{\frac{1}{n}})+f(n)f({\frac{1}{n}})=f(1)+f(n)+ f({\frac{1}{n}}) $
nhưng do (2) ta có:$f(n+{\frac{1}{n}})=n+f({\frac{1}{n}}) $
vậy $f({\frac{1}{n}})={\frac{1}{f(n)}}={\frac{1}{n}} $
tiếp tục cho $x=m,y={\frac{1}{n}} $ với $m,n{\in}N* $
thì dễ dàng suy ra được $f({\frac{m}{n}})={\frac{m}{n}} $
cho $y={\frac{x}{x-1}}>0{\Rightarrow}x+y=xy{\Rightarrow}f(x+y)=f(xy) $
do đó $f(x)f({\frac{x}{x-1}})=f(x)+f({\frac{x}{x-1}}) $
tiếp theo các bạn tự chứng minh f đồng biến với $x{\in}R^{*} $
bằng cách chia nhỏ các TH $0<x<y<1 $ và $1<x<y $
cái này không quá khó nha
cuối cùng với $x>0 $ chọn hai dãy số hữu tỉ $(u_n) $ và $(v_n) $ sao cho:$u_n{\ge}x{\ge}v_n $ và $lim{u_n}=lim{v_n}=x $
khi đó do f đồng biến $f(u_n){\ge}f(x){\ge}f(v_n){\Rightarrow}u_n{\ge}f(x ){\ge}v_n $
${\Rightarrow}f(x)=x $
Vậy có hai hàm thỏa đề bài là $f(x)=2 $ và $f(x)=x $
bài này giải tuy dài nhưng cũng khá tự nhiên bởi lẽ khi giải ra đến $f(x+1)=f(x)+1 $ thì cách giải quen thuộc là dùng tính chất đồng biến.Nếu bạn nào có cách giải hay thì post lên nha
mong các bạn tiếp tục cố gắng va giải bài tổng quát IMO 1992 đi nha:burnjossstick:

14-01-2008, 08:34 PM	#7
conan236 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2007 Đến từ: Đà Nẵng Bài gởi: 287 Thanks: 17 Thanked 104 Times in 43 Posts	sao mọi người không làm bài của mình za? đây là cách giải bài 1 của mình , mình cả thấy hơi dài bạn nào co' lời giải ngắn gọn post lên đây cho mình xem với $f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+f(x)+f(y) $(1) cho $x=y=2 $ ta được $f(4)+(f(2))^3=f(4)+2f(2){\Rightarrow}f(2)=2 $(do $f(x)>0 $) lại cho $x=y=1 $ thì có $f(2)+(f(1))^2=3f(1){\Rightarrow}f(1)=1 $ hoặc $f(1)=2 $ 1)TH1:$f(1)=2 $ cho $x=1 $ thì $f(x+1)=2 $ ${\Rightarrow}f(x)=2 $ với mọi $x>1 $ với $0<x<1 $ thì chọn $y={\frac{1}{x}}>1 $ ta được $f(x+{\frac{1}{x}})+f(x)f({\frac{1}{x}})=f(1)+f(x)+ f({\frac{1}{x}}) $ ${\Rightarrow}2+2f(x)=2+2+f(x){\Rightarrow}f(x)=2 $ vậy trong TH này $f(x)=2 $ với mọi $x{\in}R^{+} $ 2)TH2:cho $y=1 $ được $f(x+1)=f(x)+1 $ với mọi $x{\in}R^{+} $ bằng quy nạp dễ dàng suy ra $f(x+n)=f(x)+n $ và $f(n)=n $ , với mọi $n{\in}N* $(2) tiếp tục ta chứng minh $f(x)=x $ với $x{\in}Q* $ thật vậy thay $x=n $ và $x={\frac{1}{n}} $ vào (1) $f(n+{\frac{1}{n}})+f(n)f({\frac{1}{n}})=f(1)+f(n)+ f({\frac{1}{n}}) $ nhưng do (2) ta có:$f(n+{\frac{1}{n}})=n+f({\frac{1}{n}}) $ vậy $f({\frac{1}{n}})={\frac{1}{f(n)}}={\frac{1}{n}} $ tiếp tục cho $x=m,y={\frac{1}{n}} $ với $m,n{\in}N* $ thì dễ dàng suy ra được $f({\frac{m}{n}})={\frac{m}{n}} $ cho $y={\frac{x}{x-1}}>0{\Rightarrow}x+y=xy{\Rightarrow}f(x+y)=f(xy) $ do đó $f(x)f({\frac{x}{x-1}})=f(x)+f({\frac{x}{x-1}}) $ tiếp theo các bạn tự chứng minh f đồng biến với $x{\in}R^{} $ bằng cách chia nhỏ các TH $0<x<y<1 $ và $1<x<y $ cái này không quá khó nha cuối cùng với $x>0 $ chọn hai dãy số hữu tỉ $(u_n) $ và $(v_n) $ sao cho:$u_n{\ge}x{\ge}v_n $ và $lim{u_n}=lim{v_n}=x $ khi đó do f đồng biến $f(u_n){\ge}f(x){\ge}f(v_n){\Rightarrow}u_n{\ge}f(x ){\ge}v_n $ ${\Rightarrow}f(x)=x $ Vậy* có hai hàm thỏa đề bài là $f(x)=2 $ và $f(x)=x $ bài này giải tuy dài nhưng cũng khá tự nhiên bởi lẽ khi giải ra đến $f(x+1)=f(x)+1 $ thì cách giải quen thuộc là dùng tính chất đồng biến.Nếu bạn nào có cách giải hay thì post lên nha mong các bạn tiếp tục cố gắng va giải bài tổng quát IMO 1992 đi nha:burnjossstick: thay đổi nội dung bởi: conan236, 14-01-2008 lúc 08:39 PM