Trích:
Nguyên văn bởi tanggo  Bài 19: Một bài cũ nhưng mình vẫn thấy hay  Cho các số dương $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3+...+x_n=1$. Chứng minh rằng: $$\max \left \{ \dfrac{x_1}{1+x_1},\dfrac{x_2}{1+x_1+x_2},..., \dfrac{x_n}{1+x_1+x_2+...+x_n} \right \} \ge 1 - \dfrac{1}{\sqrt[n]{2}}$$ |
Bài toán này chỉ cần chú ý đánh giá sau là được
$$ \dfrac{1}{1+x_1}.\dfrac{1+x_1}{1+x_1+x_2}\cdots \dfrac{1+x_1+x_2+\cdots x_{n-2}}{1+x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}}.\dfrac{1+x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}}{1+x_1+x_2+\cdots+x_n}=\dfrac{1}{1+x_1+x_2+ \cdots +x_n}=\dfrac{1}{2} $$
Từ đây suy ra trong $ n $ số dương
$ \dfrac{1}{1+x_1}; \dfrac{1+x_1}{1+x_1+x_2};\cdots ;\dfrac{1+x_1+x_2+\cdots x_{n-2}}{1+x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}};\dfrac{1+x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}}{1+x_1+x_2+\cdots+x_n} $ phải có $ 1 $ số không lớn hơn $ \dfrac{1}{\sqrt[n]{2}} $
Đây chính là điều cần chứng minh.
Nhận xét Từ chứng minh trên chúng ta có dãy bất đẳng thức đẹp sau
$$ \max\left\lbrace\dfrac{x_1}{1+x_1},\dfrac{x_2}{1+x _1+x_2},\cdots,\dfrac{x_n}{1+x_1+x_2+ \cdots +x_n}\right\rbrace \geq 1-\dfrac{1}{\sqrt[n]{2}} \geq $$
$$ \geq \min\left\lbrace\dfrac{x_1}{1+x_1},\dfrac{x_2}{1+x _1+x_2},\cdots,\dfrac{x_n}{1+x_1+x_2+ \cdots +x_n} \right\rbrace $$
Bài 20 Cho các số thực dương $ a,b,c $ thỏa mãn $ a+b+c=3 $.Chứng minh rằng
$$ \dfrac{a}{\sqrt{5a+4b}}+\dfrac{b}{\sqrt{5b+4c}} + \dfrac{c}{\sqrt{5c+4a}} \leq 1 $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]