Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

xuanhai_10t2 · 06-05-2011, 10:36 AM

Bài toán sau dù không cần phải sử dụng bổ dề trên nhưng nó cũng cho ta ý tưởng để đưa về dạng $\frac{a^n-b^n}{a-b} $

4.Cho $x,y,p,n,k $ là các số nguyên dương thỏa mãn:
$x^n+y^n=p^k $.Chứng minh nếu $n $ lẻ và p là số nguyên tố thì $n $ là lũy thừa của $p $.
Chứng minh:Đặt $m=gcd(x,y) $.Từ đó ta có $x=mx_1,y=my_1 $.Từ cách đặt ta có $m^n(x^n_1+y^n_1)=p^k $,từ đó có $m=p^a $ với $a $ nguyên dương.Từ đó:
$x^n_1+y^n_1=p^{k-na} $ (1).vÌ $n $ lẻ nên

$\frac{x^n_1+y^n_1}{x_1+y_1}=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1y_1+...+y^{n-1}_1=A $ (2)
Từ đó ta có:$A(x_1+y_1)=p^{k-na} $ suy ra $x_1+y_1=p^b $ với $b $ nguyên dương nào đó.Tư đó:
$A=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1(p^b-x_1)+...+(p^b-x_1)^{n-1} $
$=nx^{n-1}_1+Bp $.Có $A $ chia hết cho $p $ mà
$(x_1,p)=1 $ nên ta có $n $ chia hết cho $p $ suy ra
$n=pq $.Từ đó ta có:$x^{pq}+y^{pq}=p^k $ hay

$(x^p)^q+(y^p)^q=p^k $.Bằng lí luận tương tự thì $p $ cũng chia hết cho $q $ ,nếu $q=1 $ thì $n=p $.Nếu
$p=q $ thì $n=p^2 $ suy ra dpcm
------------------------------
Ngoài ra ,hệ quả của bổ đề-bài toán 1 cũng có khá nhiều ứng dụng,cụ thể như sau:
Trước hết ,đây là 2 hệ quả rất hay dùng:
1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $ với $p>2 $

2.$v_2(a^n-b^n)=v_2(\frac{a^2-b^2}{2})+v_2(n) $ (p=2)

ỨNG DỤNG:
1.Có tồn tại hay không số nguyên $n $ thỏa mãn $n $ có đúng 2000 ước nguyên tố và $2^n+1 $ chia hết cho $n $

2.$(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ chia hết cho

$p^n $ với $n $ chia hết cho $p $ với $p $ nguyên tố

Chứng minh:Từ hệ quả 1,ta có nếu $p^k \mid a-b $ thì $p^{k+m} \mid a^{sp^m}-b^{sp^m} $.

Đặt $a=(n-1)^{n^2},b=-(n+1)^{n^2} $

suy ra $a^{n^{n-1}}-b^{n^{n-1}}=(n-1)^{n^{n-1}}+(n+1)^{n^{n+1}} $ mà

$a-b $ chia hết cho $n $ suy ra $p \mid a-b $

nên $p^n \mid a^{sp^{n-1}}-b^{sp^{n-1}}=(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ với

$s=(\frac{n}{p})^{n-1} $

06-05-2011, 10:36 AM	#2
xuanhai_10t2 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 27 Thanks: 2 Thanked 22 Times in 11 Posts	Bài toán sau dù không cần phải sử dụng bổ dề trên nhưng nó cũng cho ta ý tưởng để đưa về dạng $\frac{a^n-b^n}{a-b} $ 4.Cho $x,y,p,n,k $ là các số nguyên dương thỏa mãn: $x^n+y^n=p^k $.Chứng minh nếu $n $ lẻ và p là số nguyên tố thì $n $ là lũy thừa của $p $. Chứng minh:Đặt $m=gcd(x,y) $.Từ đó ta có $x=mx_1,y=my_1 $.Từ cách đặt ta có $m^n(x^n_1+y^n_1)=p^k $,từ đó có $m=p^a $ với $a $ nguyên dương.Từ đó: $x^n_1+y^n_1=p^{k-na} $ (1).vÌ $n $ lẻ nên $\frac{x^n_1+y^n_1}{x_1+y_1}=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1y_1+...+y^{n-1}_1=A $ (2) Từ đó ta có:$A(x_1+y_1)=p^{k-na} $ suy ra $x_1+y_1=p^b $ với $b $ nguyên dương nào đó.Tư đó: $A=x^{n-1}_1-x^{n-2}_1(p^b-x_1)+...+(p^b-x_1)^{n-1} $ $=nx^{n-1}_1+Bp $.Có $A $ chia hết cho $p $ mà $(x_1,p)=1 $ nên ta có $n $ chia hết cho $p $ suy ra $n=pq $.Từ đó ta có:$x^{pq}+y^{pq}=p^k $ hay $(x^p)^q+(y^p)^q=p^k $.Bằng lí luận tương tự thì $p $ cũng chia hết cho $q $ ,nếu $q=1 $ thì $n=p $.Nếu $p=q $ thì $n=p^2 $ suy ra dpcm ------------------------------ Ngoài ra ,hệ quả của bổ đề-bài toán 1 cũng có khá nhiều ứng dụng,cụ thể như sau: Trước hết ,đây là 2 hệ quả rất hay dùng: 1.$v_p(a^n-b^n) = v_p(a-b)+v_p(n) $ với $p>2 $ 2.$v_2(a^n-b^n)=v_2(\frac{a^2-b^2}{2})+v_2(n) $ (p=2) ỨNG DỤNG: 1.Có tồn tại hay không số nguyên $n $ thỏa mãn $n $ có đúng 2000 ước nguyên tố và $2^n+1 $ chia hết cho $n $ 2.$(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ chia hết cho $p^n $ với $n $ chia hết cho $p $ với $p $ nguyên tố Chứng minh:Từ hệ quả 1,ta có nếu $p^k \mid a-b $ thì $p^{k+m} \mid a^{sp^m}-b^{sp^m} $. Đặt $a=(n-1)^{n^2},b=-(n+1)^{n^2} $ suy ra $a^{n^{n-1}}-b^{n^{n-1}}=(n-1)^{n^{n-1}}+(n+1)^{n^{n+1}} $ mà $a-b $ chia hết cho $n $ suy ra $p \mid a-b $ nên $p^n \mid a^{sp^{n-1}}-b^{sp^{n-1}}=(n-1)^{n^{n+1}}+(n+1)^{n^{n-1}} $ với $s=(\frac{n}{p})^{n-1} $ thay đổi nội dung bởi: xuanhai_10t2, 06-05-2011 lúc 11:16 AM Lý do: Tự động gộp bài