Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

Juliel · 23-02-2014, 02:01 PM

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
$$f(x^2+f(y))=y+f^2(x),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$$

Lời giải (đây là lời giải của mình, m.n xem coi chỗ nào sai mà kết quả ra kì quá @@)

Ta chứng minh $f$ là đơn ánh. Thật vậy, giả sử $\exists x_1,x_2\in \mathbb{R}:f(x_1)=f(x_2)$
Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0),\;\forall y\in \mathbb{R}$
Từ đó $f(f(x_1))=f(f(x_2))\Rightarrow x_1+f^2(0)=x_2+f^2(0)\Rightarrow x_1=x_2$. Do đó $f$ đơn ánh.
Đặt $f(0)=a$, trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=a^2=f(-a)$. Do $f$ đơn ánh nên $a=-a$ hay $a=0$
Vậy ta có $f(0)=0$.
Trong $(1)$ cho $y=0$ được $f(x^2+f(0))=f^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x^2)=f^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$
Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0)=y,\;\forall y\in \mathbb{R}$
Do đó $(1)$ được viết thành :
$f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(f(y))\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R},x\geq 0$
Trong $(2)$ ta thay $x$ bởi $-x$ được $f(x^2)=f^2(-x),\;\forall x\in \mathbb{R}$. Kết hợp với $(2)$ suy ra $f^2(x)=f^2(-x)\Rightarrow f(-x)=\pm f(x) ,\;x\in \mathbb{R}$. Nếu $f(x)=f(-x),\;\forall x\in \mathbb{R}$ thì do $f$ đơn ánh ta suy ra $x=-x,\;\forall x\in \mathbb{R}$, mâu thuẫn.
Do vậy $f(-x)=-f(x)$.
Do đó với $x\leq 0$ ta có :
$f(y)=f(-x+(x+y))=f(-x)+f(x+y)=-f(x)+f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R},x\leq 0$
Vậy ta được
$f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$

Ta sẽ tính biểu thức $f((x+1)^2)$ theo $(2)$ và $(3)$ :
$f((x+1)^2)=f^2(x+1)=(f(x)+f(1))^2=f^2(x)+2f(x)f(1 )+f^2(1),\;\forall x\in \mathbb{R}$
$f((x+1)^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+2f(x)+f(1)=f^2(x)+2 f(x)+f(1),\;\forall x\in \mathbb{R}$
Từ hai kết quả này ta suy ra :
$f^2(x)+2f(x)f(1)+f^2(1)=f^2(x)+2f(x)+f(1),\;\fora ll x\in \mathbb{R}\Rightarrow 2f(x)(1-f(1))=f^2(1)\;\;(*)$

Từ đây suy ra $f$ là hàm hằng

, nhưng rõ ràng hàm $f(x)=x$ thỏa đề

.

Ai có cách hay chỉ giáo !!

23-02-2014, 02:01 PM	#1
Juliel +Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2013 Đến từ: THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hoà, Đồng Nai Bài gởi: 144 Thanks: 109 Thanked 130 Times in 66 Posts	$f(x^2+f(y))=y+f^2(x)$ Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn : $$f(x^2+f(y))=y+f^2(x),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$$ Lời giải (đây là lời giải của mình, m.n xem coi chỗ nào sai mà kết quả ra kì quá @@) Ta chứng minh $f$ là đơn ánh. Thật vậy, giả sử $\exists x_1,x_2\in \mathbb{R}:f(x_1)=f(x_2)$ Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0),\;\forall y\in \mathbb{R}$ Từ đó $f(f(x_1))=f(f(x_2))\Rightarrow x_1+f^2(0)=x_2+f^2(0)\Rightarrow x_1=x_2$. Do đó $f$ đơn ánh. Đặt $f(0)=a$, trong $(1)$ cho $x=y=0$ được $f(a)=a^2=f(-a)$. Do $f$ đơn ánh nên $a=-a$ hay $a=0$ Vậy ta có $f(0)=0$. Trong $(1)$ cho $y=0$ được $f(x^2+f(0))=f^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x^2)=f^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$ Trong $(1)$ cho $x=0$ được $f(f(y))=y+f^2(0)=y,\;\forall y\in \mathbb{R}$ Do đó $(1)$ được viết thành : $f(x^2+f(y))=f(x^2)+f(f(y))\Leftrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R},x\geq 0$ Trong $(2)$ ta thay $x$ bởi $-x$ được $f(x^2)=f^2(-x),\;\forall x\in \mathbb{R}$. Kết hợp với $(2)$ suy ra $f^2(x)=f^2(-x)\Rightarrow f(-x)=\pm f(x) ,\;x\in \mathbb{R}$. Nếu $f(x)=f(-x),\;\forall x\in \mathbb{R}$ thì do $f$ đơn ánh ta suy ra $x=-x,\;\forall x\in \mathbb{R}$, mâu thuẫn. Do vậy $f(-x)=-f(x)$. Do đó với $x\leq 0$ ta có : $f(y)=f(-x+(x+y))=f(-x)+f(x+y)=-f(x)+f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R},x\leq 0$ Vậy ta được $f(x+y)=f(x)+f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$ Ta sẽ tính biểu thức $f((x+1)^2)$ theo $(2)$ và $(3)$ : $f((x+1)^2)=f^2(x+1)=(f(x)+f(1))^2=f^2(x)+2f(x)f(1 )+f^2(1),\;\forall x\in \mathbb{R}$ $f((x+1)^2)=f(x^2+2x+1)=f(x^2)+2f(x)+f(1)=f^2(x)+2 f(x)+f(1),\;\forall x\in \mathbb{R}$ Từ hai kết quả này ta suy ra : $f^2(x)+2f(x)f(1)+f^2(1)=f^2(x)+2f(x)+f(1),\;\fora ll x\in \mathbb{R}\Rightarrow 2f(x)(1-f(1))=f^2(1)\;\;(*)$ Từ đây suy ra $f$ là hàm hằng , nhưng rõ ràng hàm $f(x)=x$ thỏa đề . Ai có cách hay chỉ giáo !!