Trích:
Nguyên văn bởi nqt  Bác Talent có thể giới thiệu quyển sách nào có bài này không?
------------------------------
Thi học sinh giỏi quốc gia mình nghĩ nó củng giống như khi xem một trân bóng đá nhiều kịch tính thế!!!!!!! Bởi thế mới có nhiều thấy giáo dành cả đời mình để dạy các học sinh thi QG đó thôi!!!!!!!!!!!!!! |
Chú ý quan sát và động não một tí thì bài toán tổng quát nó chẳng khác gì với bài toán số 5 và chính là bài toán sau:
Cho $k $ màu. Tính số cách tô màu các đỉnh của một hình vuông, mỗi đỉnh một trong $k $ màu sao cho không có hai cách tô màu nào là ảnh của nhau qua một phép quay quanh tâm hình vuông.
Bài toán này thì đơn giản rồi.
Nếu 4 đỉnh trùng màu nhau thì có $k $ cách tô. Nếu hai đỉnh của mỗi cặp đỉnh đối diện trùng màu nhau, nhưng 4 đỉnh này không trùng màu thì số cách tô là $(k^2-k)/2 $. Số cách tô màu khác nhau nhưng không nằm trong 2 trường hợp đầu là $(k^4-k^2)/4 $. Tổng cộng sẽ có là $(k^4 + k^2 + 2k)/4 $ cách tô màu khác nhau.
Còn tại sao bài toán tổng quát cũng chính là bài này, thì chỉ cần chia hình $n\times n $ ra thành 4 block là ảnh của nhau qua các phép quay 90 độ, hoặc đối xứng qua tâm (không có 2 ô nào cùng một block đối xứng nhau hay tạo với nhau góc 90 độ) và có thể có 1 ô ở tâm (tùy vào $n $ chẵn hay lẻ). Ta xét các cách phân bố màu trong block này thì thấy nó là một tổ hợp màu của $q $ màu. Mà mỗi block có $[n^2/4] $ ô, nên số tổ hợp màu là $q^{[n^2/4]} $. Đến đây thì bài toán trở thành bài toán ban đầu, 4 đỉnh hình vuông và $k = q^{[n^2/4]} $ "màu" (chính xác là tổ hợp màu khác nhau).
Chú ý nhân thêm số cách tô màu cho ô ở tâm là $q^{n^2-4.[n^2/4]} $ ( = 1 nếu không có ô ở tâm, hiển nhiên) và các kết quả $n^2 - 2[n^2/4] = [(n^2+1)/2] $ và $n^2 - 3[(n^2 + 1)/4] $ $= [(n^2 + 3)/4] $ ta thu được kết quả bài toán tổng quát.
Còn với bài toán tổng quát của cả bài toán tổng quát này thì cách làm cũng tương tự, liên quan tới phân tích một số ra tích các lũy thừa của các số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]