Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

galmotcoh · 23-03-2008, 06:45 AM

Lại tiếp tục với loạt philosophy về điểm. Lần này tôi muốn nói tới điểm theo nghĩa Grothendieck. Tổng quát, ta xét 1 scheme X bất kỳ. Ta sẽ nói X có dimX = n nếu không gian topo nền của nó |X| có dimension = n.

Triết học của Grothendieck có thể nói có 1 phần motivation xuất phát từ việc Specm(A) không đủ good, because nó không functorial. Tức là nghịch ảnh của 1 maximal ideal không nhất thiết phải maximal. Thay vào đó ta xét Spec(A). Điều này có nghĩa là gì? Có nghĩa là scheme ngoài các điểm đóng (closed point) mà nó đồng phôi với đa tạp đại số theo nghĩa thông thường, thì nó còn 1 loại điểm nữa, tạm gọi là open points.

Với Grothendieck, điểm tổng quát là điểm mà tại đó vành địa phương bằng chính với trường hàm. Do đó điểm tổng quát sẽ có đối chiều = 1, được hiểu như là lấy chiều của scheme X trừ đi chiều Krull của vành địa phương. Ở đây ta sẽ coi vành địa phương như là vành địa phương Noether.

Cách quan niệm Spec(A), đem lại cho ta 1 cái nhìn khác về đa tạp con. Mỗi đa tạp con irreducible (bất khả quy) của X có thể được coi như là 1 điểm. Do đó nếu V là irreducible subvariety của X với codim(V) = r thì điểm tương ứng với V là 1 điểm có đối chiều = r.

Giả sử lược đồ của chúng ta đủ tốt, which means separated, of finite type of some fields, integral,.... and so on (để advoid các dummy non-example), vậy thì ta có thể nói tới tập hợp các điểm có codim = r, và định nghĩa 1 nhóm abel tự do sinh bởi chúng, say

$Z^r(X) = \oplus_{codim(x) = r} \mathbb{Z}[x] $

và gọi nó là nhóm các r-Cycles trên X. Nếu ta đưa vào quan hệ tương đương hữu tỷ thì khi modulo nó ta thu được nhóm Chow.

Tất nhiên nhóm Chow được lựa chọn làm ứng cử viên để định nghĩa motivic cohomology, bởi lý do mỗi Correspondence giữa 2 lược đồ X và Y có thể xem như là 1 element của nhóm $CH(X\times Y) $. Ở đây tôi vẫn chỉ dùng classical Chow groups, chưa nhắc gì tới higher Chow groups.

Như vậy cách quan niệm về điểm của Grothendieck sẽ mang lại cho ta view-point gì? Tất nhiên nó sẽ là 1 tổng quát hóa cho Divisors từ complex function theory.

Ta vẫn nói, ước được hiểu như tổng các điểm với hệ số nguyên. Ước chính như là Pol trừ đi Zero. Rồi modulo ước chính để thu được nhóm Divisor. Tất nhiên trong giải tích phức, điểm chỉ có ý nghĩa thuần túy là điểm.

Giờ điểm của chúng ta có dimension, mỗi điểm sẽ ứng với 1 đa tạp con, do đó nhóm Chow, đại diện cho motivic cohomology, sẽ là tổng quát hóa cho Divisors. Tất nhiên ta phải thay thế tương đương tuyến tính bằng tương đương hữu tỷ. Nhưng chúng hoàn toàn tương tự nhau với cách quan niệm về điểm của Grothendieck.

Còn gì để nói về điểm nữa không nhỉ? À hình như có nghe qua 1 số dân có nghề về hình học lượng tử (Quantum Geometry) về 1 số thứ liên quan tới Quantum Spaces, mà cụ thể là Quantum Torus (Quantum version của elliptic curves), thì thấy những loại không gian mới mẻ này, có 1 đặc tính là không có điểm, và dầy đặc kỳ dị? Hic, không sao tưởng tượng ra nổi.

Có thể dân có nghề nào đó giới thiệu sơ qua what is point for a quantum space chăng? MathMan145 học ở Vanderbilt University làm với Alain Connes có thể dạo qua đây chơi làm 1 bài có được không?

23-03-2008, 06:45 AM	#2
galmotcoh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 18 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	Lại tiếp tục với loạt philosophy về điểm. Lần này tôi muốn nói tới điểm theo nghĩa Grothendieck. Tổng quát, ta xét 1 scheme X bất kỳ. Ta sẽ nói X có dimX = n nếu không gian topo nền của nó \|X\| có dimension = n. Triết học của Grothendieck có thể nói có 1 phần motivation xuất phát từ việc Specm(A) không đủ good, because nó không functorial. Tức là nghịch ảnh của 1 maximal ideal không nhất thiết phải maximal. Thay vào đó ta xét Spec(A). Điều này có nghĩa là gì? Có nghĩa là scheme ngoài các điểm đóng (closed point) mà nó đồng phôi với đa tạp đại số theo nghĩa thông thường, thì nó còn 1 loại điểm nữa, tạm gọi là open points. Với Grothendieck, điểm tổng quát là điểm mà tại đó vành địa phương bằng chính với trường hàm. Do đó điểm tổng quát sẽ có đối chiều = 1, được hiểu như là lấy chiều của scheme X trừ đi chiều Krull của vành địa phương. Ở đây ta sẽ coi vành địa phương như là vành địa phương Noether. Cách quan niệm Spec(A), đem lại cho ta 1 cái nhìn khác về đa tạp con. Mỗi đa tạp con irreducible (bất khả quy) của X có thể được coi như là 1 điểm. Do đó nếu V là irreducible subvariety của X với codim(V) = r thì điểm tương ứng với V là 1 điểm có đối chiều = r. Giả sử lược đồ của chúng ta đủ tốt, which means separated, of finite type of some fields, integral,.... and so on (để advoid các dummy non-example), vậy thì ta có thể nói tới tập hợp các điểm có codim = r, và định nghĩa 1 nhóm abel tự do sinh bởi chúng, say $Z^r(X) = \oplus_{codim(x) = r} \mathbb{Z}[x] $ và gọi nó là nhóm các r-Cycles trên X. Nếu ta đưa vào quan hệ tương đương hữu tỷ thì khi modulo nó ta thu được nhóm Chow. Tất nhiên nhóm Chow được lựa chọn làm ứng cử viên để định nghĩa motivic cohomology, bởi lý do mỗi Correspondence giữa 2 lược đồ X và Y có thể xem như là 1 element của nhóm $CH(X\times Y) $. Ở đây tôi vẫn chỉ dùng classical Chow groups, chưa nhắc gì tới higher Chow groups. Như vậy cách quan niệm về điểm của Grothendieck sẽ mang lại cho ta view-point gì? Tất nhiên nó sẽ là 1 tổng quát hóa cho Divisors từ complex function theory. Ta vẫn nói, ước được hiểu như tổng các điểm với hệ số nguyên. Ước chính như là Pol trừ đi Zero. Rồi modulo ước chính để thu được nhóm Divisor. Tất nhiên trong giải tích phức, điểm chỉ có ý nghĩa thuần túy là điểm. Giờ điểm của chúng ta có dimension, mỗi điểm sẽ ứng với 1 đa tạp con, do đó nhóm Chow, đại diện cho motivic cohomology, sẽ là tổng quát hóa cho Divisors. Tất nhiên ta phải thay thế tương đương tuyến tính bằng tương đương hữu tỷ. Nhưng chúng hoàn toàn tương tự nhau với cách quan niệm về điểm của Grothendieck. Còn gì để nói về điểm nữa không nhỉ? À hình như có nghe qua 1 số dân có nghề về hình học lượng tử (Quantum Geometry) về 1 số thứ liên quan tới Quantum Spaces, mà cụ thể là Quantum Torus (Quantum version của elliptic curves), thì thấy những loại không gian mới mẻ này, có 1 đặc tính là không có điểm, và dầy đặc kỳ dị? Hic, không sao tưởng tượng ra nổi. Có thể dân có nghề nào đó giới thiệu sơ qua what is point for a quantum space chăng? MathMan145 học ở Vanderbilt University làm với Alain Connes có thể dạo qua đây chơi làm 1 bài có được không?