Trích:
Nguyên văn bởi Nts_pbc  Mình xin góp vui 1 bài:
Bài 5: Cho $a,b,c$ là các số không âm và $a+b+c=1.$ Chứng minh rằng
$\frac{1}{2-3ab}+\frac{1}{2-3bc}+\frac{1}{2-3ca}\le \frac{9}{5} $ |
$A=\frac{1}{2-3ab}+\frac{1}{2-3bc}+\frac{1}{2-3ac} = \frac{\sum (2-3bc)(2-3ac)}{(2-3ab)(2-3bc)(2-3ac)} $
Ta thấy bất đẳng thức trên nằm trong dạng $f(abc,ab+bc+ca,a+b+c) $.
Suy ra max của hàm trên đạt được khi có 2 số bằng nhau, giả sử $a=b=x. $
$A=\frac{1}{2-3x^2}+\frac{2}{2-3xc} $
Cùng với điều kiện $2x+c=1 \Leftrightarrow c=1-2x $, thế vào $A $ ta được:
$A=\frac{1}{2-3x^2}+\frac{2}{2-3x(1-2x)} $
$A'=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3} $
Với $x=\frac{1}{3} $thì $A''<0. $
Suy ra $A $ đạt cực đại tại $x= \frac{1}{3} $ hay $a=b=c=\frac{1}{3} $ và $\max A =\frac{9}{5} $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]