Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - [IMO 2013] Bài 1

hungvu · 24-07-2013, 03:50 AM

Có thể chứng minh bài này bằng quy nạp theo k
Với k=1 thì chọn $m_1$ = n
Với k=2 thì đưa về phương trình nghiệm nguyên $3. m_1.m_2 = n(m_1+m_2 +1) $
$\Leftrightarrow (3.m_1- n)(3.m_2-n) = n(n+3)$
Nếu $n\vdots 3 $ thì chọn $m_1 = 2n/3, m_2=(2n+3)/3$
Nếu $n \equiv 1\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+2)/3$
Nếu $n \equiv 2\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+1)/3$
Quy nạp giả sử đúng đến k ta sẽ chứng minh đúng đến k+1
Thật vậy theo giả thiết qui nạp với mọi $m \in N$ thì tồn tại các sô $m_1,m_2,...m_k$ sao cho $\prod (1+\frac{1}{m_i}) = 1 + \frac{2^k-1}{m}$
Cần tìm $t \in N^*$ sao cho
$ \frac{t+1}{t} = \frac{2^{k+1}n-1}{n}.\frac{m}{2^{k}+m-1}$ với k,n cho trước.
Biến đổi ta được
$(2^k-1)n(t+1)=m(2^{k+1}t-t-n)$
Với n lẻ chọn t=n và $m=\frac{n+1}{2}$
Với n chẵn chọn $t=n+2(2^k-1), m=\frac{n}{2}$

24-07-2013, 03:50 AM	#2
hungvu +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Đến từ: Đồng Phúc - Yên Dũng - Bắc Giang Bài gởi: 6 Thanks: 12 Thanked 2 Times in 1 Post	Có thể chứng minh bài này bằng quy nạp theo k Với k=1 thì chọn $m_1$ = n Với k=2 thì đưa về phương trình nghiệm nguyên $3. m_1.m_2 = n(m_1+m_2 +1) $ $\Leftrightarrow (3.m_1- n)(3.m_2-n) = n(n+3)$ Nếu $n\vdots 3 $ thì chọn $m_1 = 2n/3, m_2=(2n+3)/3$ Nếu $n \equiv 1\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+2)/3$ Nếu $n \equiv 2\pmod{3} $ thì chọn $m_1=(n+1)/3$ Quy nạp giả sử đúng đến k ta sẽ chứng minh đúng đến k+1 Thật vậy theo giả thiết qui nạp với mọi $m \in N$ thì tồn tại các sô $m_1,m_2,...m_k$ sao cho $\prod (1+\frac{1}{m_i}) = 1 + \frac{2^k-1}{m}$ Cần tìm $t \in N^*$ sao cho $ \frac{t+1}{t} = \frac{2^{k+1}n-1}{n}.\frac{m}{2^{k}+m-1}$ với k,n cho trước. Biến đổi ta được $(2^k-1)n(t+1)=m(2^{k+1}t-t-n)$ Với n lẻ chọn t=n và $m=\frac{n+1}{2}$ Với n chẵn chọn $t=n+2(2^k-1), m=\frac{n}{2}$ __________________ Người đàn ông giống những con số. Họ chỉ đạt được giá trị của họ bằng vị trí của họ