Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - [VMO 2014] Bài 3

**huynhcongbang** · 03-01-2014, 10:27 PM

Vậy là bài tổ hợp có thể tự tin với kết quả là $\frac{C_{78}^9 C_{23}^9}{10}$ rồi.

Các cách khác cũng áp dụng các bước sắp xếp nhưng theo thứ tự khác nên biểu thức cũng hơi khác thôi, đều cùng kết quả cả.

Mình xin share một cách phân tích trên trang Sputnik Education, mọi người tham khảo thử nhé!

Bài 3. Câu a khá là đơn giản. Số đỉnh màu xanh là 24 đỉnh = 103 - 79. Nếu tất cả các đỉnh đỏ chụm thành 1 cụm thì A = 78, nếu bị cắt ahfnh 2 cụm thì A = 77 và cứ thế: tức là nếu có k cụm (mỗi cụm là các đỉnh cùng màu đỏ đứng sát nhau) thì A = 79-k. Nếu có k cụm đủ thì cũng có k cụm xanh, nên B = 24-k. Các giá trị có thể của k là từ 1 đến 24, nên có 24 khả năng tất cả.

Câu b khá là khó. Để có B = 14 thì k =10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10 cụm). Đếm số cách chia như thế nào ?

Ta thử đánh số các cụm xanh từ 1 đến 10, bắt đầu từ 1 cụm nào đó. Gọi số phần tử của 10 cụm đó (theo thứ tự vòng tròn thuận chiều kim đồng hồ) là x1, ... x10. Khi đó các số y1=x1, y2=x1+x2, v.v., y9 = x1+...+x9 (y10 =24 là cố định, không tính), là các số dương khác nhau từ 1 đến 23 (không thể là 24). Có C(9,23) cách chọn 9 số đó từ 23 số. Như vậy là có C(9,23) cách chia 24 quân xanh thành 10 cụm (có xếp hàng). Tương tự như vậy, có C(9,78) cách chia quân đỏ. Nhân với nhau được C(9,23)C(9,78) Mỗi cách cho ta một cách xếp (tô màu): đầu tiên xếp cụm 1 quân xanh, rồi đến cụm 1 quân đỏ, rồi đến cụm 2 quân xanh, v.v. (Vì có thể quay vòng tròn, nên ta có thể coi "điểm bắt đầu" là điểm đầu của cụm 1 quân xanh). Vì sao 2 cách xếp khác nhau ở đây lại không trùng nhau khi quay vòng tròn ?! (Nếu chẳng may trùng nhau thì rắc rối to, phải tìm cách nào loại đi sự trùng nhau, bằng cách băm nhỏ rồi chia như thế nào đó). Nhưng may thay, số 79 là số nguyên tố nên sẽ không có hai cách nào trùng nhau ! Do vậy số cách sẽ là C(9,23)C(9,78). Nhưng có 10 cách chọn điểm bắt đầu (vì có 10 cụm quân xanh) cho cùng 1 cách tô màu, nên phải chia số C(9,23)C(9,78) cho 10, được kết quả cuối cùng là C(9,23)C(9,78)/10.

03-01-2014, 10:27 PM	#21
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Vậy là bài tổ hợp có thể tự tin với kết quả là $\frac{C_{78}^9 C_{23}^9}{10}$ rồi. Các cách khác cũng áp dụng các bước sắp xếp nhưng theo thứ tự khác nên biểu thức cũng hơi khác thôi, đều cùng kết quả cả. Mình xin share một cách phân tích trên trang Sputnik Education, mọi người tham khảo thử nhé! Bài 3. Câu a khá là đơn giản. Số đỉnh màu xanh là 24 đỉnh = 103 - 79. Nếu tất cả các đỉnh đỏ chụm thành 1 cụm thì A = 78, nếu bị cắt ahfnh 2 cụm thì A = 77 và cứ thế: tức là nếu có k cụm (mỗi cụm là các đỉnh cùng màu đỏ đứng sát nhau) thì A = 79-k. Nếu có k cụm đủ thì cũng có k cụm xanh, nên B = 24-k. Các giá trị có thể của k là từ 1 đến 24, nên có 24 khả năng tất cả. Câu b khá là khó. Để có B = 14 thì k =10 (phải chia quân xanh thành 10 cụm, quân đỏ thành 10 cụm). Đếm số cách chia như thế nào ? Ta thử đánh số các cụm xanh từ 1 đến 10, bắt đầu từ 1 cụm nào đó. Gọi số phần tử của 10 cụm đó (theo thứ tự vòng tròn thuận chiều kim đồng hồ) là x1, ... x10. Khi đó các số y1=x1, y2=x1+x2, v.v., y9 = x1+...+x9 (y10 =24 là cố định, không tính), là các số dương khác nhau từ 1 đến 23 (không thể là 24). Có C(9,23) cách chọn 9 số đó từ 23 số. Như vậy là có C(9,23) cách chia 24 quân xanh thành 10 cụm (có xếp hàng). Tương tự như vậy, có C(9,78) cách chia quân đỏ. Nhân với nhau được C(9,23)C(9,78) Mỗi cách cho ta một cách xếp (tô màu): đầu tiên xếp cụm 1 quân xanh, rồi đến cụm 1 quân đỏ, rồi đến cụm 2 quân xanh, v.v. (Vì có thể quay vòng tròn, nên ta có thể coi "điểm bắt đầu" là điểm đầu của cụm 1 quân xanh). Vì sao 2 cách xếp khác nhau ở đây lại không trùng nhau khi quay vòng tròn ?! (Nếu chẳng may trùng nhau thì rắc rối to, phải tìm cách nào loại đi sự trùng nhau, bằng cách băm nhỏ rồi chia như thế nào đó). Nhưng may thay, số 79 là số nguyên tố nên sẽ không có hai cách nào trùng nhau ! Do vậy số cách sẽ là C(9,23)C(9,78). Nhưng có 10 cách chọn điểm bắt đầu (vì có 10 cụm quân xanh) cho cùng 1 cách tô màu, nên phải chia số C(9,23)C(9,78) cho 10, được kết quả cuối cùng là C(9,23)C(9,78)/10. __________________ Sự im lặng của bầy mèo