Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE 
$\boxed{11}$ [Phú Thọ] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn$$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\quad\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
|
Dễ thấy nếu $f\left( x \right)$ là hàm hằng thì $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Giả sử tồn tại hàm $f\left( x \right)$ khác hằng thỏa mãn: \[f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy),\quad\forall x,y\in \mathbb{R} \quad(1).\]
Lúc đó:
Trong $(1)$ thay $y=1$ ta có: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(2).\]
Thay $y=-1$ vào $(1)$ ta lại được: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( -1 \right) - 2f\left(- x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(3).\]
Do đó, từ $(2)$ và $(3)$ ta có: \[2f\left( x \right) + f\left( { - 1} \right) = 2f\left( { - x} \right) + f\left( 1 \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(4).\]
Trong $(4)$, cho $x=1$ ta có $f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)$ nên $(4)$ tương đương với: \[f\left( x \right) = f\left( { - x} \right), \quad\forall x\in \mathbb{R}.\]
Thay $x=y=1$ vào $(1)$ ta có: $f\left( {f\left( 1 \right) - 1} \right) = 0$, do đó tồn tại số thực $a$ sao cho $f\left( a \right) = 0.$
Thay $x=a$, $y=0$ vào $(1)$ ta có: $f\left( 0 \right) = - 2f\left( 0 \right)$, suy ra $f\left( 0 \right) = 0.$
Thay $x=a$ vào $(1)$ ta có: \[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(5).\]
Thay $x=0$ vào $(1)$ ta lại có:\[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right) - 2f\left( {ay} \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(6).\]
Từ $(5)$ và $(6)$ ta có: \[f\left( {ay} \right) = 0,\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(7).\]
Suy ra $f\left( x \right)=0$ khi và chỉ khi $x=0$, bởi nếu không, do $a$ khác $0$ nên đẳng thức $(7)$ tương đương với $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$, vô lý!!
Tiếp tục thay $y$ bởi $x$ vào $(1)$ ta được: \[f\left( {f\left( x \right) - {x^2}} \right) = 0,\forall x\in \mathbb{R}.\]
Suy ra $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$.
Thử lại, ta kết luận phương trình có 2 nghiệm hàm $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]