Xem bài viết đơn
Old 04-01-2014, 08:44 PM   #12
truongvoki_bn
Moderator
 
truongvoki_bn's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2009
Đến từ: _chuyenbacninh_
Bài gởi: 614
Thanks: 72
Thanked 539 Times in 208 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Bài 6. (7 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{{{x}^{3}}{{y}^{4}}{{z}^{3}}}{({{x}^{4}}+ {{y}^{4}}){{(xy+{{z}^{2}})}^{3}}}+\frac{{{y}^{3}}{ {z}^{4}}{{x}^{3}}}{({{y}^{4}}+{{z}^{4}}){{(yz+{{x} ^{2}})}^{3}}}+\frac{{{z}^{3}}{{x}^{4}}{{y}^{3}}}{( {{z}^{4}}+{{x}^{4}}){{(zx+{{y}^{2}})}^{3}}}$$ với $x,y,z$ là các số thực dương.
Một hướng tiếp cận:
Đặt $\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b;\frac{z}{x}=c $
Ta được: $abc=1 $
Ta cần tìm GTLN của P= $\sum{\frac{1}{(b+c)^3(a^4+1)} $
Áp dụng Cauchy-Schwarz ta được $ P^2 \le (\sum{\frac{a^3}{(a^4+1)^2}).(\sum{\frac{1}{a^3(b+ c)^6}})\le \frac{3}{64}\sum{\frac{a^3}{(a^4+1)^2}} \le \frac{3}{128} (\sum{\frac{a^4}{(a^4+1)^2}+\sum{\frac{a^2}{(a^4+1 )^2}}) \le \frac{3}{128}(\frac{3}{4}+\sum{\frac{a^2}{(a^4+1)^ 2}}) $

Do vậy ta sẽ chỉ cần tìm GTLN của biểu thức $Q=\sum{\frac{a^2}{(a^4+1)^2}} $ với điều kiện $abc=1 $
Thay ngược trở x;y;z trở lại ta cần tìm GTLN của $Q=\sum{\frac{x^2y^6}{(x^4+y^4)^2}} $ với mọi số dương $x;y;z $
Áp dụng AM-GM ta được $Q \le \sum{\frac{y^4}{2\sqrt{2(x^8+y^8)}}} $
Ta chứng minh được bài toán sau bằng dồn biến:


Do đó $ Q\le \frac{3}{4} $

Từ đó ta được GTLN của $P=\frac{3}{16} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Cuộc sống là không chờ đợi


Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa
truongvoki_bn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 9.81 k/10.94 k (10.36%)]