[DaiToan]

Giả sử P(x) phân tích được thành tích của (n+1) đa thức khác hằng hệ số nguyên.
Vì P(x) vô nghiệm thực nên các nhân tử đó phải bậc chẵn. Nhưng bậc của P(x) bằng 4n nên phải tồn tại một nhân tử f(x) bậc 2 (có lẽ đây là mấu chốt!)
Có thể giả sử f(x) có hệ số của x2 là 1: $$f(x) = {x^2} + bx + c;{\rm{ }}b,c \in $ $. Vì f(x) vô nghiệm thực nên c>0.
Do $$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $ $ và f(x) vô nghiệm nên f(1)>0; f(6)>0.
Mà P(1)=P(6)=13 nên f(1), f(6) là ước dương của 13;
Nhưng f(6)-f(1) chia hết cho 5 nên f(1)=f(6)=1 hoặc 13
Từ f(1)=f(6) suy ra b=-7, suy ra $$f(x) = {x^2} - 7x + c$ $.
* Nếu f(1)=1 thì c=7, suy ra $$f(x) = {x^2} - 7x + 7$ $ có nghiệm thực (vô lí).
* Nếu f(1)=13 thì c=19, suy ra $$f(x) = {x^2} - 7x + 19$ $.
Ta có f(2)=9 và $$P(2) = {4^{2n}} + 13$ $.
Rõ ràng P(2) không chia hết cho 3 trong khi f(2) chia hết cho 3 (vô lí).
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]