Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Kỳ Thi Chọn HSGQG Năm 2011 - Môn Toán Học

newbie · 11-01-2011, 01:08 PM

Đề này ngồi ngoài làm thấy nhẹ nhàng

Bài 1 :
Sử dụng quy nạp ta đưa về cm :
$ \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1} \le \frac{( x+1)^2}{4} .\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} $
$\frac{( x^n+1)(x^{n+2}+1)}{(x^{n+1}+1)^2} \le \frac{ (x+1)^2 }{4x} $
$ \frac{ x^n(x-1)^2}{ ( x^{n+1}+1)^2 } \le \frac{ (x-1)^2}{4x} $
$4x^{n+1} \le (x^{n+1}+1)^2 $
hiển nhiên đúng
Bài 2:
$x_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n+ \sum^{n-1}_{i=1}x_i )=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n + \frac{(n-1)^2}{2n}x_n )=\frac{ n+1 }{n}.\frac{n^2+1}{n^2} x_n $
Vậy ta suy đuợc 2 điều sau :
+ $y_{n+1}=\frac{ n^2+n+1}{n^2}. \frac{x_n}{n} $
+ $\frac{x_{n+1}}{n+1}=\prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $

Việc còn lại là chứng minh $z_n= \prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $
Mà bài này thì ai từng học qua giới hạn đều gặp cả

Bài 3
a) Pascal
b)Không cần quan tâm đến mấy điểm E,D thì thấy bài này đủ hết các yếu tố để xài Ceva

.Cách hình học thì chưa nghĩ ra
Bài 4
Ý tưởng lộ rõ khi nhắc đến 2 đường chéo $AC $ và $AD $.Nối 2 đường chéo ấy lại , ta chia ngũ giác ra làm 3 tam giác .Từ đây xài bài toán phụ : Tam giác có 3 cạnh nhỏ hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác ấy bị phụ kín bởi các hình tròn đơn vị có tâm ở các đỉnh

11-01-2011, 01:08 PM	#30
newbie +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2009 Bài gởi: 266 Thanks: 17 Thanked 164 Times in 84 Posts	Đề này ngồi ngoài làm thấy nhẹ nhàng Bài 1 : Sử dụng quy nạp ta đưa về cm : $ \frac{x^{n+1}(x^{n+2}+1)}{x^{n+1}+1} \le \frac{( x+1)^2}{4} .\frac{x^{n}(x^{n+1}+1)}{x^{n}+1} $ $\frac{( x^n+1)(x^{n+2}+1)}{(x^{n+1}+1)^2} \le \frac{ (x+1)^2 }{4x} $ $ \frac{ x^n(x-1)^2}{ ( x^{n+1}+1)^2 } \le \frac{ (x-1)^2}{4x} $ $4x^{n+1} \le (x^{n+1}+1)^2 $ hiển nhiên đúng Bài 2: $x_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n+ \sum^{n-1}_{i=1}x_i )=\frac{2(n+1)}{n^2}( x_n + \frac{(n-1)^2}{2n}x_n )=\frac{ n+1 }{n}.\frac{n^2+1}{n^2} x_n $ Vậy ta suy đuợc 2 điều sau : + $y_{n+1}=\frac{ n^2+n+1}{n^2}. \frac{x_n}{n} $ + $\frac{x_{n+1}}{n+1}=\prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $ Việc còn lại là chứng minh $z_n= \prod^n_{i=1} (1+\frac{1}{i^2}) $ Mà bài này thì ai từng học qua giới hạn đều gặp cả Bài 3 a) Pascal b)Không cần quan tâm đến mấy điểm E,D thì thấy bài này đủ hết các yếu tố để xài Ceva .Cách hình học thì chưa nghĩ ra Bài 4 Ý tưởng lộ rõ khi nhắc đến 2 đường chéo $AC $ và $AD $.Nối 2 đường chéo ấy lại , ta chia ngũ giác ra làm 3 tam giác .Từ đây xài bài toán phụ : Tam giác có 3 cạnh nhỏ hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác ấy bị phụ kín bởi các hình tròn đơn vị có tâm ở các đỉnh thay đổi nội dung bởi: newbie, 11-01-2011 lúc 01:11 PM