Chỉ còn 5 ngày nữa thôi là kỳ thi TST 2014 sẽ chính thức diễn ra. Xin gửi tiếp một số bài để mọi người tham khảo.
Bài 49. Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Điểm $M$ di chuyển trên đường tròn $(O)$ và không trùng với các đỉnh của tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên các đường thẳng $OA,OB,OC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác $ABC$. Chứng minh rằng
a. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng Simson của $M$ đối với tam giác $ABC.$
b. Điểm $I$ di chuyển trên một đường cố định khi $M$ di chuyển trên $(O)$.
Bài 50. Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $s(n)$ là số các số nguyên dương $x$ không vượt quá $n$ và thỏa mãn điều kiện ${{2}^{x}}+1$ chia hết cho $x.$ Chứng minh rằng với mỗi số thực dương $k$ nhỏ tùy ý, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $$2\ln (n)<s(n)<kn.$$
Bài 51. Xác định tất cả các hàm số $f:{{\mathbb{Z}}^{+}}\to {{\mathbb{Z}}^{+}}$ thỏa mãn điều kiện
$${{f}^{2}}(n)<nf(n+1)\le 2{{n}^{2}}f\left( \left[ \frac{n+1}{2} \right] \right)$$ với mọi $n\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.
Bài 52. Trong mặt phẳng, cho tam giác $ABC$ cố định nội tiếp trong đường tròn $(O).$ Xét tam giác $DEF$ có $D,E,F$ lần lượt thuộc trung trực của $BC,CA,AB$, nằm ngoài tam giác $ABC$ và nhận $O$ là trọng tâm. Với mỗi góc $\alpha $, giả sử ${{R}_{1}},{{R}_{2}}$ là các điểm thuộc trung trực của $EF$ với ${{R}_{1}}$ nằm trong tam giác $DEF$, ${{R}_{2}}$ nằm ngoài tam giác $DEF$ và $\angle E{{R}_{1}}F=\angle E{{R}_{2}}F=\alpha $. Định nghĩa tương tự với các điểm ${{S}_{1}},{{S}_{2}},{{T}_{1}},{{T}_{2}}$. Chứng minh rằng các đường thẳng $D{{R}_{1}},E{{S}_{1}},F{{T}_{1}}$ đồng quy tại một điểm ${{O}_{1}}$, các đường thẳng $D{{R}_{2}},E{{S}_{2}},F{{T}_{2}}$ đồng quy tại một điểm ${{O}_{2}}$ và đường thẳng ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác $DEF$ và góc $\alpha$ thay đổi.