Trích:
Nguyên văn bởi CanNotRegister Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \[P = \max \left\{ {x;\,y;\,\,z;\,\,\frac{7}{x} + \frac{3}{{{y^2}}} + \frac{9}{{{z^3}}}} \right\}\] Trong đó $x;\,y;\,z$ là các số thực dương. |
Do $P = \max \left\{ {x;\,y;\,\,z;\,\,\dfrac{7}{x} + \dfrac{3}{{{y^2}}} + \dfrac{9}{{{z^3}}}} \right\}$ nên
\[\begin{array}{l}
\left( {\frac{7}{9} + \frac{2}{9} + \frac{3}{9} + 1} \right)P &\ge \frac{7}{9}x + \frac{2}{9}y + \frac{3}{9}z + \frac{7}{x} + \frac{3}{{{y^2}}} + \frac{9}{{{z^3}}}\\
&= \frac{7}{9}\left( {x + \frac{9}{x}} \right) + \frac{1}{9}\left( {2y + \frac{{27}}{{{y^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {3z + \frac{{81}}{{{z^3}}}} \right)
\end{array}\]
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có
\[\begin{array}{l}
x + \frac{9}{x} &\ge 2\sqrt {x.\frac{9}{x}} = 6\\
2y + \frac{{27}}{{{y^2}}} &= y + y + \frac{{27}}{{{y^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{y.y.\frac{{27}}{{{y^2}}}}} = 9\\
3z + \frac{{81}}{{{z^3}}} &= z + z + z + \frac{{81}}{{{z^3}}} \ge 4\sqrt[4]{{z.z.z.\frac{{81}}{{{z^3}}}}} = 12
\end{array}\]
Từ đó có
\[\frac{7}{3}P \ge \frac{7}{9}.6 + \frac{1}{9}.9 + \frac{1}{9}.12 = 7\]
Vậy $P\ge 3$ và khi $x=y=z=3$ thì $P=3$, nên giá trị nhỏ nhất cần tìm là $3$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]