Bài 2
:
Sắp lại các số trong $A$ theo thứ tự tăng dần $a_1 < a_2 <\cdots < a_{2000}$. Với mỗi $1\le k\le 2000$ đặt $x_k$ là số các số $m \in B$ mà $|a_k - m| \le 1000$.
Ta sẽ chứng minh: $x_{k} + x_{2001-k} \le \min\{4002, 2016 + 2k\}$ với mọi $1\le k\le 1000$.
Trước hết dễ thấy $x_{k}\le 2001$ với mọi $1\le k\le 2000$ nên $x_k + x_{2001-k}\le 4002$.
Gọi $X_k$ là tập các số $m\in B$ mà $|a_k-m|\le 1000$. Khi đó
$X_k\subset B_k = \{a_k-1000,...,a_k,...,a_{k} + 1000\}$. Tương tự cũng có $X_{2001-k} \subset B_{2001-k} = \{a_{2001-k}-1000,...,a_{2001-k},...,a_{2001-k} + 1000\}$.
Do đó: $X_{k}\cap X_{2001-k} \subset B_{k}\cap B_{2001-k}$. Lại có $a_{k} + 2001-2k \le a_{2001-k}$, nên $B_{k}\cap B_{2001-k}\le 2k$. Hệ qủa là $x_k + x_{2001-k} = |A_k| + |B_k| = |A_k\cup B_k| + |A_k\cap B_k| \le 2016 + 2k$
Vậy ta đã chứng minh được $x_k + x_{2001-k}\le \min\{4002, 2016 + 2k\}$ với mọi $1\le k\le 1000$. Do đó $\sum\limits_{k=1}^{1000}x_k \le \sum\limits_{k=1}^{1000} \min\{4002, 2016 + 2k\} = \left(\sum\limits_{k=1}^{993}2016+2k\right) + 7\times 4002 = 3016944$.
Với hai tập $A = \{9,...,2008\}, B = \{1,...,2016\}$ thì có số cặp $m,n$ thỏa mãn $|m-n|\le 1000$ chính bằng 3016944. Đó cũng là đáp số của bài toán.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]