[chienthan]

Bài 6. Đây là một ứng dụng đẹp của PT Pell.

Giả sử tồn tại $a\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ sao cho $$({{2018}^{n}}-1)({{2019}^{m}}-1)={{a}^{2}}.$$
Đặt ${{2018}^{n}}-1=d{{x}^{2}},{{2019}^{m}}-1=d{{y}^{2}}$ với $d,x,y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$.

Chú ý rằng ${{2019}^{m}}$ có ước nguyên tố có dạng $4k+3$ nên $d>1.$ Hơn nữa, $d$ cũng phải lẻ. Ta thấy nếu $m$ lẻ thì ${{v}_{2}}({{2019}^{m}}-1)={{v}_{2}}(m)+{{v}_{2}}(2018)=1$, không thỏa mãn vì ${{v}_{2}}(d{{y}^{2}})$ là số chẵn. Suy ra $m$ chẵn.

Xét trường hợp $n$ lẻ, ta có ${{2018}^{n}}-1\equiv 1(\bmod 3)$, kéo theo $d\equiv 1(\bmod 3)$; suy ra ${{2019}^{m}}-1=d{{y}^{2}}$ phải có dạng $3k+1$, mâu thuẫn.
Do đó, $n$ chẵn.

Gọi $X=T,Y=U$ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình ${{X}^{2}}-d{{Y}^{2}}=1$ và
$${{T}_{k}}+{{U}_{k}}\sqrt{d}={{(T+U\sqrt{d})}^{k} }.$$

Vì $n$ chẵn nên
$${{2018}^{\frac{n}{2}}}+x\sqrt{d}={{T}_{s}}+{{U}_ {s}}\sqrt{d}$$ với $s$ nguyên dương nào đó (dễ thấy $s$ lẻ vì ${{T}_{k}}$ lẻ với $k$ chẵn). Tương tự thì từ ${{2019}^{m}}-1=d{{y}^{2}}$, ta có
$${{2019}^{\frac{m}{2}}}+y\sqrt{d}={{T}_{r}}+{{U}_ {r}}\sqrt{d}$$ với $r$ chẵn.

Đặt $r=2t$ thì ${{2019}^{\frac{m}{2}}}={{T}_{2t}}=2T_{t}^{2}-1\Rightarrow T_{t}^{2}\equiv 2(\bmod 3)$, vô lý. Vậy ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]