Mình sẽ làm nốt phần về Menelaus
I.2)Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích Định lí:Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC,CA,AB.Khi đó ta có:
$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{ \bar{BM}.\bar{CN}.\bar{AP}-\bar{CM}.\bar{AN}.\bar{BP} }{\bar{AB} .\bar{BC}.\bar{CA}} $
Chứng minh :(
thamtuhoctro post)
Gọi $e_1 ,e_2 ,e_3 $ là vector chỉ phương của $BC, CA, AB. $
Ta có:
$\begin{array}{l}S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {MAB} \right] + S\left[ {MCA} \right] \\ \Rightarrow S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {PMA} \right] + S\left[ {PBM} \right] + S\left[ {NMC} \right] + S\left[ {NAM} \right] \\\Rightarrow S\left[ {ABC} \right] = S\left[ {MNP} \right] + S\left[ {BMP} \right] + S\left[ {CNM} \right] + S\left[ {APN} \right] \\ \end{array} $
mặt khác :
$\frac{{S\left[ {BMP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} .\sin \left( {e_1 ;e_2 } \right)}}{{\overline {BC} .\overline {BA} .\sin \left( {e_1 ;e_2 } \right)}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} }}{{\overline {BC} .\overline {BA} }} $
tương tự:
$\frac{{S\left[ {CNM} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {CN} .\overline {CM} }}{{\overline {CA} .\overline {CB} }} $
$\frac{{S\left[ {APN} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {AP} .\overline {AN} }}{{\overline {AB} .\overline {AC} }} $
Ta suy ra:
$\begin{array}{l}\frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = 1 - \frac{{S\left[ {BMP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} - \frac{{S\left[ {CNM} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} - \frac{{S\left[ {APN} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} \\\Rightarrow \frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[{ABC}\right]}} = 1 - \frac{{\overline {BM} .\overline {BP} }}{{\overline {BC} .\overline {BA} }} - \frac{{\overline {CN} .\overline {CM} }}{{\overline {CA} .\overline {CB} }} - \frac{{\overline {AP} .\overline {AN}}}{{\overline {AB} .\overline {AC} }} \\\Rightarrow \frac{{S\left[ {MNP} \right]}}{{S\left[ {ABC} \right]}} = \frac{{\overline {BM} .\overline {CN} .\overline {AP} - \overline {CM} .\overline {AN} .\overline {BP} }}{{\overline {AB} .\overline {BC} .\overline {CA} }} \\ \end{array} $
