Ðề tài: Đề thi VN TST 2019
Xem bài viết đơn
Old 29-03-2019, 01:53 PM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Đề thi VN TST 2019

Sáng nay, tại trường THPT Chuyên Amsterdam HN, kỳ thi chọn đội VN 2019 đã diễn ra với gần 49 thí sinh, gồm 1 bạn đạt HCB IMO 2018 và 48 bạn giải nhất-nhì của kỳ thi VMO. Dưới đây là đề thi ngày 1.
P/s: update đề ngày 2.

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN
DỰ THI OLYMPIC TOÁN QUỐC TẾ 2019
Thời gian làm bài: 270 phút.

Ngày thi thứ nhất.

Bài 1. (7 điểm)
Trong một quốc gia có $n\ge 2$ thành phố. Giữa hai thành phố bất kỳ có đường bay trực tiếp theo hai chiều. Người ta muốn cấp phép khai thác cho các đường bay trên cho một số hãng hàng không với các điều kiện sau đây:
i) Mỗi đường bay chỉ được cấp phép cho một hãng duy nhất.
ii) Di chuyển bằng đường bay của 1 hãng hàng không tùy ý, người ta có thể đi từ 1 thành phố bất kỳ tới các thành phố còn lại.
Hỏi có thể cấp phép tối đa cho bao nhiêu hãng hàng không?

Bài 2. Với $n$ là số nguyên dương, chứng minh rằng đa thức sau đây
$${{P}_{n}}(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}{{{2}^{k}}C_{2 n}^{2k}\cdot {{x}^{k}}\cdot {{(x-1)}^{n-k}}}$$
có $n$ nghiệm thực phân biệt.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có $M$ là trung điểm $BC,$ trực tâm $H$. Gọi $D$ là điểm thuộc tia đổi của tia $HA$ sao cho $DM=\frac{BC}{2}$ và ${D}'$ là điểm đối xứng với $D$ qua $BC.$ Giả sử $AO$ cắt $MD$ tại $X.$
a) Chứng minh rằng $AM$ đi qua trung điểm của ${D}'X.$
b) Định nghĩa các điểm $E,F$ tương tự điểm $D$; các điểm $Y,Z$ định nghĩa tương tự điểm $X.$ Gọi $S$ là giao điểm hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ và $G$ là hình chiếu của trung điểm $AS$ lên đường thẳng $AO.$ Chứng minh rằng tồn tại một điểm có cùng phương tích với cả bốn đường tròn $(SGO),(BYE),(CFZ),(O).$

Ngày thi thứ hai.

Bài 4.
Tìm các bộ ba nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn
${{2}^{x}}+1={{7}^{y}}+{{2}^{z}}$.
Bài 5.
Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân nội tiếp đường tròn $(O),$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Giả sử $BI$ cắt $AC$ ở $E$ và $CI$ cắt $AB$ ở $F.$ Đường tròn qua $E,$ tiếp xúc với $OB$ tại $B$ cắt $(O)$ tại $M.$ Đường tròn qua $F$ tiếp xúc với $OC$ tại $C$ cắt $(O)$ tại $N.$ Các đường thẳng $ME,NF$ cắt lại $(O)$ lần lượt tại $P,Q.$ Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC.$ Đường thẳng $PQ$ cắt $BC,EF$ lần lượt tại $G,H.$ Chứng minh rằng trung tuyến qua $G$ của tam giác $GHK$ thì vuông góc với đường thẳng $OI.$
Bài 6.
Một con bọ ở vị trí có tọa độ $x=1$ trên trục số. Ở mỗi bước, từ vị trí có tọa độ $x=a,$ con bọ có thể nhảy đến vị trí có tọa độ $x=a+2$ hoặc $x=\frac{a}{2}$. Chứng minh rằng có tất cả ${{F}_{n+4}}-(n+4)$ vị trí khác nhau (kể cả vị trí ban đầu) mà con bọ có thể nhảy đến với không quá $n$ bước nhảy, trong đó $({{F}_{n}})$ là dãy Fibonacci xác định bởi
${{F}_{0}}={{F}_{1}}=1,\text{ }{{F}_{n}}={{F}_{n-1}}+{{F}_{n-2}}$ với $n\ge 2.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
Akira Vinh HD (01-05-2019), Le khanhsy (29-03-2019), ncthanh (29-03-2019)
 
[page compression: 11.81 k/13.01 k (9.20%)]